امروز سه شنبه 29 مرداد 1398
sharifriyaziat.cloob24.com
    0


    1 – به سؤالات زير پاسخ دهيد.


    الف) اگر a عدد مثبتي باشد، کوچکترين و بزرگترين عضو مجموعه {a / 2 , a / 3 , a /5 , a/ 7} کدام است؟

    ب) از دو کسر مثبت که مخرجهاي مثبت دارند، کسري بزرگتر است که صورتش بزرگتر باشد.

         ج) اگر مخرج کسر مثبتي را در عددي ضرب کنيم آن کسربزرگترمی شود.
    کوچکتر
         و) اگر صورت و مخرج کسری را در عددی غیر صفر ضرب کنیم کسر تغییر نمی کند
    تغییر می کند


    2 - به صورت اعشاري بنويسيد.

    (n N) , 10-n , 10-10 , 10-8


    3 – از کسرهاي زير کدام مولد عدد اعشاري تحقيقي و کدام مولدعدد اعشاري متناوب ساده و کدام متناوب مرکب است؟ پس از تحقيق عدد اعشاري هر يک را بنويسيد.

    7 /40(الف     
    3 /35
    7 /11
    0.25/3


    4- اعداد اعشاري زير را به صورت کسر متعارفي بنويسيد.
    الف) 06/0

    ب) 76565/0
    د) 3737/2

    ه ) 3777/2


    5- کسر متعارفي مساوي هريک از اعداد اعشاري زير را بنويسيد.


     

    6- چهار عدد گويا بين دو عدد گوياي 2/1 و 4/1 بنويسيد.

     

    7- به صورت نماد علمي بنويسيد:
    واحد جرم اتمي:

    عددآووگادرو:

    بارپروتون:

     

    8- گويا يا اصم بودن اعداد زير را تعيين کنيد:

    1)6

    2)0/4343

    3)Π

    4) - 5/6

    5) 2/9


     

    تمرين هاي تکميلي:‌ با پاسخ:
    1- 8 عدد گويا بين 3 /2 ,4/3 قرار بدهيد.
    صورت و مخرج کسر 3/2 را در 40 و صورت و مخرج 4/3 را در 30ضرب مي نماييم.


     

     

    مي بينيد که اعداد گوياي 120 /81 و. 120/89 بين دو عدد گوياي 3/2 و 4/3 واقع مي باشند.

     

    2- بين هر دو عدد گويا، سه عدد گويا پيدا کنيد.
    48،49



     

     

    3 – مقدار کسرهاي زير را به ازاي n=1,2,3,4 به صورت کسرهاي اعشاري درآوريد.


     

     

     

     

     

     

     

     

     

    4- اگر3:4= x / y باشد مقدار عبارت(x-2y) / (x + 2y) را بيابيد.


    ترکيب نسبت در صورت و تفصيل نسبت در مخرج انجام شده است.


     

    5 – y با عکس مجذور x‌ متناسب است اگر y=16 آنگاه x=1 است، حال x=8 است. آنگاه y چقدر خواهد بود؟



     

     

    6- کوچکترين و ساده ترين کسر را بيابيد که خارج قسمت آن بر هر يک از کسرهاي زير عدد صحيح باشد.
    کوچکترين مضرب مشترک بين صورتهاي سه کسر را صورت کسر و بزرگترين مقسوم عليه مشترک بين مخرجها را مخرج کسر مي نويسيم.

    6/7 = 5/14 =10/21


    7 /30عدد مطلوب مي باشد.

    6 5 = 30 => 30 10 =30 =>30= ک.م.م
    7∩14 = 7 => 7 ∩ 21 = 7 => 7 = ب. م.م



    تست هاي کنکوري: بخش چهار

    1- کسر تحويل ناپذيرa /b برابر کسر462/594 است، a+b کدام است؟
    1) 14

    2)15

    3)16

    4)17


    2 – حاصل مي شود؟
    1) 24/0

    2)

    3)

    4)3/0


         3- حاصلبرابر است با:

    1)37
    2)(3/2) 7
    3)(2/3)7
    4)27


    4- تفاضل صورت از مخرج کسر متعارفي مولد عدد اعشاري 38/0 به کداميک از اعداد زير بخش پذير است؟
    1) 17

    2) 5

    3) 6

    4)11


    5- حاصل عبارت کدام است؟
    1) 7/4

    2) 8/7

    3) 7/16

    4) 7/8


    6- کسر مولد کدام است؟
    1)97/136

    2)99/136

    3)99/137

    4)137/97


    7- اگر N,Z,Q,R به ترتيب مجموعه اعداد طبيعي،صحيح، گويا و حقيقي باشندف کدام رابطه نادرست است؟
    1)R Q

    2)N R

    3) Z N

    4)Q N



      کلید تست ها

    سوالجوابسوال جواب
    1362
    272
    338
    449
    5510
     
    0

      ‌مجموعه اعداد گويا


    مجموعه اعداد گويا مجموعه اي است از اعداد که آن را بصورت کلي زير مي توان نوشت:

    Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 }


    مجموعه اعداد گويا عضو ابتدا و انتها ندارد.
    مجموعه اعداد گويا نسبت به عمل تقسيم بسته نيست، زيرا: صفر عضوي از مجموعه اعداد گويا است ولي (0/ عدد) معني ندارد.
    سعي شود همراه مخرج عدد گويا مثبت باشد.

    -a/b = a/-b = -(a/b)


    دو عدد گويا مساوي:
    هر گاه صورت و مخرج عدد گويايي را در عددي (مخالف صفر) ضرب و يا به عددي (مخالف صفر) تقسيم کنيم عدد گويا تغيير نمي کند و عدد گويايي مساوي عدد گوياي اولي بدست مي آيد يعني:



    اعداد گوياي بين دو عدد گويا:
    بين دو عدد طبيعي متوالي يا دو عدد صحيح متوالي، عدد طبيعي يا صحيح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گويا اين مطلب درست نيست. بين هر دو عدد گوياي متمايز بي شمار عدد گويا وجود دارد.
    مثلاً عدد 4/1 يکي از اعداد گويا بين صفر و يک است و اين مطلب را به صورت 1<4/1>0 مي نويسند، و يا 3/1 - يکي از اعداد گويا بين 4/1 - و 2/1 - است و بصورت

    4/1- > 3/1 - > 3/2 - مي نويسند.

    ميانگين دو عدد گويا:

    يعني ميانگين دو عدد گويا متمايز بين آن دو عدد قرار دارد.
    هر عدد گويا نظير a /b که صورت و مخرج آن عامل مشترک نداشته باشند عدد گوياي تحويل ناپذير مي نامند.

    a  b =1 یا (a , b)=1

    نمايش اعشاري اعداد گويا (تحويل ناپذير)
    اعداد گويا سه نوع هستند.

    نوع اول:

    در مخرج کسر پس از تجزيه به عاملهاي اول فقط عاملهاي 2و5 وجود دارد. در اين صورت اگر صورت کسر را به مخرج آن تقسيم کنيم پس از چند رقم اعشار باقيمانده تقسيم صفر مي شود.
    در اين صورت گفته مي شود عدد گويا قابل تبديل به کسر اعشاري تحقيقي يا مختوم مي باشد.

    نوع دوم:

    در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد. در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار میشوند.این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند.


    نوع سوم:
    چنانچه کسر پس از تجزيه کردن به عامل هاي اول عامل هاي 2و 5 و ساير عوامل اول وجود داشته باشد در اين صورت خارج قسمت بعد از مميز غير از ارقام دوره گردش ارقام ديگري قبل از دوره گردش وجود دارد که تکراري نمي شوند و باقيمانده هرگز صفر نخواهد شد. اين عدد را عدد اعشاري متناوب مرکب نامند.


    تذکر: در حالت (1) اگر a را بر b تقسيم کنيم وعمل تقسيم را ادامه بدهيم باقيمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسيم کنيم و عمل تقسيم را ادامه بدهيم باقي مانده هيچوقت صفر نخواهد شد.


    در تبديل عدد اعشاري متناوب به کسر متعارفي:
    هر عدد اعشاري متناوب را مي توان به صورت يک کسر گويا (کسر متعارفي نوشت) براي اينکار به ترتيب زير انجام مي دهيم.
    1) آن عدد را مساوي x قرار مي دهيم (a)

    2) طرفين رابطه (a) را در10 kضرب مي کنيم. (k تعداد ارقام غيرگردش است) (b)

    3) طرفين رابطه ي (b) را در 10 ضرب مي کنيم (p‌ تعداد ارقام گردش است) (c)
    4) رابطه b‌را از c کم مي کنيم و سپس x را بدست مي آوريم و ساده مي کنيم.


    تبديل عدد اعشاري تحقيقي به کسر گويا (کسر متعارفي)

          براي اين کار کافي است که کسر متعارفي بنويسيم که صورت آن ارقام اعشاري بعد از مميزمخرج آن10 n

    باشد (تعداد ارقام بعد از مميز است)


    تبديل کسر اعشاري متناوب ساده به کسر متعارفي:
    براي اين کار کسري مي نويسيم که صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادي 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.


    تبديل عدد اعشاري متناوب مرکب به کسر متعارفي:
    براي اين کار کسري که مي نويسيم که صورت آن يک دوره تناوب و غيرتناوب منهاي يک دوره غير تناوب باشد و مخرج آن تعدادي 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوي آن تعدادي صفر به تعداد ارقام دوره غيرتناوب باشد)

    مجموعه اعداد حقيقي:
    مي دانيم هر عدد گويا مي شود و به صورت يک عدد اعشاري (تحقيقي – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاري يک عدد گويا است.
    حال به عدد اعشاري 20200200020000/0 توجه کنيد که بعد از مميز عددهاي 2 و صفرها به طريقي تکرار شده اند ولي هيچ شناختي به عدد اعشاري متناوب ندارد. يعني اين يک عدد اعشاري متناوب نيست. پس اين يک عدد غيرگويا است. اين عدد را يک عدد گنگ يا (اصم) مي نامند.

    تعريف: هر عدد اعشاري که حقيقي و متناوب نباشد را يک عدد اصم مي گويند. مانند:

    Π = 3 / 141592633589793

    √2 = 1/414213
    ℮ = 2 / 71.

    مجموعه اعداد گنگ (اصم):
    همه ي اعداد اصم مجموعه اي را تشکيل مي دهند که به آن مجموعه اعداد گنگ مي نامند و با Q c نشان مي دهند.


    مجموعه اعداد حقيقي:
    همه ي اعداد گويا و اصم مجموعه اي را تشکيل مي دهند که به آن مجموعه اعداد حقيقي مي گويند و با k نشان مي دهند. پس:
     

    R = Q Q c


     


      نماد علمي:

    به تساوي روبرو توجه کنيد:
     

    0/3456 = 3/456 * 10-3

    0/00007 =7 * 10-5

    1382 = 1/382 *103

    700000 = 7 * 105

    همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب يک عددبين 1و10 و توان مناسبي از 10، گويند اعداد فوق به صورت نماد علمي نوشته شده است.
    براي جلوگيري از اشتباه در عمليات و آسان خواندن اعداد بسيار بزرگ و اعداد بسيار کوچک از نماد علمي استفاده مي کنند.
     

         يعني اينگونه اعداد را به صورتd * 10 n مي نويسند که در آن 1≤ d , d < 10 ,  n z  

     مي نويسند که 1 اين نمايش اعداد را نمايش علمي اعداد يا نماد علمي اعداد مي گويند.
     

    براي نوشتن يک عدد به صورت نماد علمي از قرارداد زير استفاده مي کنيم:
    الف) اولين رقم غير صفر عدد مذکور را از سمت چپ مشخص مي کنيم.
    ب) مميز را در سمت راست همان عدد قرار مي دهيم
    ج)اگر مميز از سمت راست به چپ حرکت کند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه مي شود و اگر مميز از چپ به راست حرکت کند به تعداد ارقام از توان 10 کم مي شود.
     

    678910/ = 6/78910 * 10 5

    0/000623 = 6/23 * 10-4

     

        

    0

    1 – حاصل هر عبارت را به صورت عدد توان دار بنويسيد.

    (-الف) (3-)×(3-) ×(3
    (-ب) (2/0-) ×(2/0-) ×(2/0-) ×(2/0
    ج) 1/0×1/0×1/0×1/0×1/0
    (-1/2) (-1/2) (-1/2) (-1/2)(د


    2- هر کدام از احکام زير را که درست است با نماد P و هر کدام که نادرست است با نماد × مشخص کنيد.

    (m4 +n2 )/m 2= m 2+ (n/m)2 53 + 73 = (5 +7)3الف)
    (2m + 3n) 2= 4m 2× n2(11- 4)3 +113 - 43ب)
    (va × b)2 = 49 a2 b24a 2+ 9b2 =(2a + 3b)2ج)

    3 – اعداد زير را به صورت توان منفي بنويسيد.
    الف) 0000001/0

    ب)000000002/0
    ج)000125/0

    د)00007/0

    4– اگر0<1 ؟ a بزرگتر است یا 2 a ، 7 a بزرگتر است یا8

    5– به جايچه عددي را بايد بنويسيم تا تساوي7 2k = ×7k درست باشد؟


    6 – ب.م.م و ک.م.م هر يک از زوجهاي زير را از راه تجزيه بدست آوريد.
    (72,48)(456,288)

    تمرين تکميلي: (با پاسخ) بخش سوم
    1 – حاصل عبارات زير را بدست آوريد:

    -3 -2 =>-3-2 =-(3)-2 = -(1/3)2 = -1/9

    -3 / 4-1 =>-3 / 4-1 = -3/(1/4)=-12

    7-2 => 7-2=(1/7)2 = 1/49

    -7(-3)0 => -7(-3)0=-7(1)=-7


    2- مقدار x را حساب کنيد.

    16 x=32 =>16 x=32 =>(2 4) x = 25 => 24x =>4x=5 => x=5/4


    3 – حاصل عبارات زير را بدست آوريد:







      تست هاي کنکوري:

    1- از معادله 162x-1= 83x +1مقدار x کدام است؟

    1) 7

    2) -7

    3) 4

    4)4-


    2 – کوچکترين مخرج مشترک براي دو کسر با مخرج هاي 126،168 چه عددي است؟
    1) 336

    2) 378

    3)504

    4)672


    3 – حاصل (5/1) ٪ (4/45) کدام است؟
    1) 5

    2) 10

    3) 5/12

    4) 25


    4- کوچکترين مضرب مشترک دو عدد 60 و 72 چند واحد از بزرگترين مقسوم عليه آن بيشتر است؟
    1) 38

    2) 348

    3)358

    4)328


    5- اگر بزرگترين مقسوم عليه مشترک دو عدد برابرb=3*2k+1* 5k+1 , a=2k-1 *32*5k-1

    300 باشد، K چند است؟

    1) 3

    2) 2

    3)4

    4)5


    6- کوچکترين مضرب مشترک دو عدد 24و36 چند واحد از بزرگترين مقسوم عليه مشترک آن بيشتر است؟
    1) 48

    2)54

    3)60

    4)72


    7- ربع عدد3- (2) کدام است؟
    1) 8/1

    2) 16/1

    3) 32/1

    4) 64/1


    8- نسبت بزرگترين مقسوم عليه مشترک به کوچکترين مضرب مشترک دو عدد 45 و 60 کدام است؟
    1) 15/1

    2) 12/1

    3) 18/1

    4) 32/1


    9- حاصلکدام است؟

    1) 7

    2)5/3

    3)75/1

    4)1


    10- بزرگترين مقسوم عليه مشترک اعداد 330و120و270 کدام است؟
    1) 6

    2) 12

    3) 20

    4) 30


    سوالجوابسوال جواب
    1263
    2373
    3482
    4292
    51104
    0

    فصل اول - بخش سوم: توان

    هر گاه بخواهيم عددي را چند بار در خودش ضرب کنيم به جاي اين عمل آن را به صورت توان مي نويسيم (عدد را نوشته و تعداد دفعات ضرب را بالاي عدد کمي سمت راست قرار مي دهيم.

    5*5*5*5*5*5 = 56


    5 را پايه و 6 را نما مي نامند. «5 به توان 6» و56 را عدد توان دار مي گوييم.
    اگرR a باشد حاصل ضرب را به صورتa n مي نويسند و مي خوانند a به توان n يا «توان nام a» وa n را يک عدد توان دار و a را پايه و n را نما مي گويند.
    هر گاه پايه عدد 10 باشد و بخواهيم به توان برسانيم حاصل آن بصورت زير است:




    عامل هاي اول:
    اگر در تقسيم عدد طبيعي a بر عدد طبيعي b باقي مانده صفر شود، در اين صورت b را يک مقسوم عليه يا يک عامل a مي گويند.
    • اگر a,b,c اعداد طبيعي باشند و a=bc در اين صورت مي گويند عدد a بر اعداد b,c بخش پذير است و b,c مقسوم عليه هاي a يا عامل هاي a هستند.
    • عدد اول: هر عدد طبيعي بزرگتر از 1 را که غير از خودش و 1 مقسوم عليه ديگري نداشته باشد به آن عدد اول مي گويند. به عبارت ديگر هر عدد طبيعي که فقط و فقط دو مقسوم عليه متمايز داشته باشد، به آن عدد اول مي گويند.
    • عدد 1 نه اول است و نه تجزيه پذير (نه مرکب)
    • عامل هاي اول يک عدد، يعني مقسوم عليه هاي آن عدد که هر يک عدد اولند.
    • وقتي يک عدد طبيعي را به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول مي نويسند مي گويند آن عدد به عامل هاي اول تجزيه شده است.
    • عامل هاي اول يک عدد:
    • هر عدد طبيعي بزرگتر از يک که عدد اول نباشد بصورت حاصل ضرب چند عدد اول تجزيه مي شود، اين چند عدد اول عاملهاي اول آن عدد مي باشند.

    نکته اصلي حساب:
    هر عدد تجزيه پذير را با راه حل هاي مختلف و صرف نظر از ترتيب عامل ها، تنها به يک شکل به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول تجزيه مي شود.

    مجذور کامل:
    عدد طبيعي n را مجذور کامل مي گويند. هر گاه پس از تجزيه N به عامل هاي اول نماي هر يک از عامل ها زوج باشد.


    مقسوم عليه مشترک:
    هر گاه عدد طبيعي a,b بر d بخش پذير باشند عدد d را مقسوم عليه مشترک a,b مي نامند.

    بزرگترين مقسوم عليه مشترک دو عدد:
    دو عدد طبيعي a,b را در نظر بگيريم. مقسوم عليه مشترکي که از اين دو عدد، از همه مقسوم عليه هاي مشترک بزرگتر باشد، بزرگترين مقسوم عليه مشترک دو عدد a,b مي نامند و بزرگترين مقسوم عليه مشترک دو عدد با نماد ب م م و يا بزرگترين مقسوم عليه مشترک دو عدد a,b را با (a,b) نمايش مي دهند.

    کوچکترين مضرب مشترک دو عدد:
    کوچکترين مضرب مشترک عددهاي طبيعي a,b را با نماد {a,b} يا ک م م نمايش مي دهند. مضرب مشترکي را که از همه مضرب هاي مشترک a,b کوچکتر باشد کوچکترين مضرب مشترک دو عد مي گويند.


    تعيين ب. م. م و ک.م.م اعداد با استفاده از تجزيه عوامل اول:
    هر گاه دو عدد را حاصلضرب عوامل اول تجزيه نماييم.
    براي محاسبه ب.م.م. از هر دو عامل مشترک آن را که نماي کوچکتر دارد اختيار کرده و در هم ضرب مي نمائيم.
    براي محاسبه ک.م.م از هر دو عامل اول مشترک آن را که نماي بزرگتر دارد اختيار کرده و عوامل غيرمشترک را هم عيناً مي نويسيم و در هم ضرب مي نمائيم.

    0


      فصل اول - بخش دوم: مجموعه های هم ارز(تمرينات و تست هاي کنکوري)

    تمرينات
    1 – مجموعه اعداد طبيعي فرد و زوج را در دو سطر بنويسيد و نشان دهيد که اين دو مجموعه هم ارزند.

    2 - هر کدام از احکام زير را که درست است با نماد و هر کدام را که نادرست است با × مشخص کنيد.
    الف) مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع بسته است.
    ب) مجموعه {1و0و-1} نسبت به عمل ضرب بسته است.
    ج) مجموعه اعداد طبيعي نسبت به عمل تفريق بسته است.
    د) مجموعه z نسبت به عمل ضرب بسته است.


    3 – هر کدام از احکام زير که درست است با نماد و هر کدام نادرست است با نماد × مشخص کنيد.
    الف- مجموعه هاي N و E هم ارزند.
    ب) مجموعه هاي N و W هم ارزند.


    4 - هر کدام از احکام زير را که درست است با نماد و هر کدام که نادرست است با × مشخص کنيد:

    الف)E = N O

    ب) = O ∩ E

    E ∩ N = N ( ج

    د) E = N N



      تست هاي کنکوري: بخش دوم


    1 – کدام گزينه در مورد مجموعه اعداد طبيعي فرد و زوج نادرست است؟
    1) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل جمع بسته است
    2) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل ضرب بسته است
    3) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل جمع بسته است
    4) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل ضرب بسته است


    2 – مجموعه اعداد طبيعي N، اعداد حسابي w و اعداد صحيح z بوده است. نتيجه نادرست کدام است؟
    1)W (N W)

    2)W (N ∩ W)

    3)W (W Z)

    4) W (N ∩ Z)


    3 – اگر A و B دو زير مجموعه از اعداد طبيعي، A متناهي (با پايان) و B نامتناهي (بي پايان) مي باشد، کدام مجموعه الزاماً نامتناهي (بي پايان) است؟
    1)' B ' A

    2) ' A ∩ B
    3) ' B A

    4)' A' ∩ B


    4 – اگر A مجموعه ارقام زوج طبيعي بين 1 تا 10 و مجموعه اعداد اول بين 1 تا 10 مي باشد. مجموعه چند زير مجموعه از مجموعه بيشتر دارد؟
    1) 96

    2) 126

    3)48

    4)98


    5 – کدام مجموعه زير تهي است؟
    1) مجموعه اعداد طبيعي فرد بين 8 و10
    2) مجموعه اعداد طبيعي زوج بين 9 و 11
    3) مجموعه اعداد طبيعي مضرب 3 بين 13 و 15
    4) مجموعه اعداد طبيعي مضرب 3 بين 14 و 16


    6 – مجموعه A={106 + 1 , -106 , 10 7}با کدام يک از مجموعه هاي زير در تناظر يک به يک است؟

    {-6 , -7}(1
    {1,2,3,4,7}(2
    {4,7,8}(3
    {1,6,7,8}(4

    7- اگر مجموعه مرجع مجموعه ي اعداد طبيعي ,B={2,4,7}, A={n|n≥5}آنگاه B ' A برابر کدام است؟

    1){1,2,3,4,5,7}

    3){1,2,3,4}
    2){1,2,3,4,7}

    4){1,2,3,4}


    سوالجوابسوال جواب
    1163
    2372
    318
    429
    5310
     
    0


      فصل اول - بخش اول: مجموعه های هم ارز

    مجموعه اعداد – بخش دوم
    مجموعه هاي هم ارز:
    دو مجموعه A,B را هم ارز مي گويند که عضوهايشان در تناظر يک به يک قرار داشته باشند. اگر مجموعه A با مجموعه B‌هم ارز باشند مي نويسندB A و مي خوانند« A هم ارز B است.»



    اگر A,B هم ارز نباشند به صورت نشان داده مي شود و مي خوانند A هم ارز B نيست.

    مفهوم عدد:
    نمادي که براي نشان دادن تعداد اعضاي يک مجموعه بکار مي رود عدد ناميده مي شود. اعداد طبيعي عضوهاي مجموعه N مي باشند.

    N={1,2,3,4,5,….N,…}

    بعضي از زير مجموعه هاي N:
    1- مجموعه اعداد طبيعي زوج:

    و هر عدد طبيعي زوج را به صورت 2n نشان مي دهند که در آن N n است.

    E={2,4,6,8,.}={2n | n N}


    2- مجموعه اعداد طبيعي فرد:
    هر عدد طبيعي فرد را به صورت 2n-1 نشان مي دهند که در آن N n است.

    O={1,3,5,7,.}={2n-1 | n N}

    3- مجموعه اعداد حسابي:

    E={0,1,2,3,.}={n-1 | n N}

    4- مجموعه مضرب هاي طبيعي يک عدد

    aمجموعه مضرب هاي طبيعي عدد={a , 2a , 3a , 4a ,.}={ka | k N}

    مجموعه قرينه هاي اعداد طبيعي:
    مجموعه ای

    {-1 , -2 , -3 , -4 ,.}={ -n | n N}

    را مجموعه قرينه ي اعداد طبيعي يا مجموعه اعداد صحيح منفي مي گويند.

    مجموعه اعداد صحيح:
    عددهاي 0و1± و2± و3±و. را اعداد صحيح مي نامند و به صورت زير نشان مي دهند.

    Z={….,-2,-1,0,1,2,….}


    مجموعه اعداد زوج در z:

    ={….,-4,-2,0,4,….}={2K|K Z}مجموعه عددهاي صحيح و زوج

    مجموعه اعداد فرد در Z:


    ={….,-5,-3,-1,1,3,5,.}={2K-1|K Z}مجموعه عددهاي صحيح فرد


    بسته بودن يک مجموعه نسبت به يک عمل:
    مجموعه a نسبت به يک عمل (جمع، تفريق، ضرب، تقسيم.) وابسته است اگر روي هر دو عضو دلخواه از مجموعه عمل را انجام دهيم حاصل هم در مجموعه وجود داشته باشد.
    مجموعه اعداد طبيعي زوج نسبت به عمل جمع بسته است. زيرا مجموع هر عدد طبيعي زودج يک عدد زوج است.
    مجموعه اعداد طبيعي فرد نسبت به عمل ضرب بسته است زيرا حاصل ضرب هر دو عدد طبيعي فرد يک عدد فرد است.
    مجموعه اعداد طبيعي فرد نسبت به عمل جمع بسته نيست، زيرا مجموع هر دو عدد طبيعي فرد يک عدد زوج است نه يک عدد فرد.

    0

      فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
    تست هاي کنکوري:بخش اول


    1 – مجموعه هاي A ∩ B داراي 5 عضو، A ∩ B داراي 2 عضو و A-B نيز داراي 2 عضو بوده، مجموعه ي B-A چند عضو دارد؟
    1) 4

    2)3

    3)2

    4)1


    2- اگر A مجموعه اعداد دو رقمي {B={vk,kєA آنگاه مجموعه تواني (A ∩ B) چند عضو دارد؟
    1)6

    2)8

    3)16

    4)32


    3- از مجموعه A يک عضو برداشته و به مجموعه B اضافه نموده ايم. تعداد اعضاي مجموعه B تغيير نکرده است. کدام رابطه بين A,B نتيجه مي شود؟
    1) B A

    2) A B

    3) ≠ A ∩ B

    4) B = B A


    4 – قسمت هاشورزده شکل روبرو، تصوير ون کدام مجموعه است؟

    A ∩ (B C)(1
    (A ∩ B) C (2
    (B ∩ C) A(3
    (B A) ∩ C (4


    5 – اگر A2 مجموعه زير مجموعه هاي دو عضوي مجموعه{ A={a,b,c,d,e و B2 زير مجموعه هاي دو عضوي{ B={a,b,c,e,f باشند، مجموعهA2 ∩ B2 چند عضو دارد؟
    1) 6

    2) 7

    3) 8

    4) 9


    6- اگر{ A1={1,2,3,…,10 باشد و{ A2={2,3,…,11 و{ A3={3,4,.,12 و. آن گاه مجموعه A1∩ A2 ∩ A3 ∩. ∩ AA چند عضو دارد؟
    1)3

    2)4

    3)5

    4)6


    7- اگر دو عضو از اعضاي مجموعه A را حذف کنيم. تعداد زير مجموعه هاي آن384 واحد کم مي شود. A چند عضو دارد؟
    1)9

    2)10

    3)11

    4)12


    8- کداميک از مجموعه هاي زير يک مجموعه تهي است؟
    1) {0}

    2) مجموعه ي اعداد اول کوچکتر از 3

    3) {}

    4) مجموعه ي اعداد اول بين 24 و 28


    9 – دو مجموعه A,B برابرند و هرگاه:
    1) تمام عضوهاي A وB وجود داشته باشد.
    2) هر عضو دلخواه از A و B وجود داشته باشد.
    3) هر يک زير مجموعه ي ديگري باشد.
    4) تعداد عضوهاي A و B برابر X باشند.


    10- اگر { x | x > 1} = A , B = {x |x < -1} آنگاه ' A' ∩ Bکدام مجموعه است؟

    1){x | -1 < x <1}

    2){x | -1 < x ≤ 1}

    3){x | -1 ≤ x <1}

    4){x | -1 ≤ x ≤1}

    سوالجوابسوال جواب
    1461
    2271
    3384
    4493
    51104

        

    0

      فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
    (تمرين هاي تکميلي (با پاسخ) بخش اول):


    1- آيا مجموعه N10 نسبت به عمل جمع بسته است؟
    مجموعه اي نسبت به عمل جمع بسته است و اگر براي هر عضو دلخواه آن از مجموعه عمل جمع انجام شود حاصل جمع عضوي از جامعه باشد.

    N10={1,2,3,….,10} A Є N10 , 9 Є N10 => "(8+9=17) Є N 10

    مجموعه N10 نسبت به عمل جمع بسته نيست.

    2-اگر{ B={2,4,6,8,10} , A={1,2,3,4 مطلوبست محاسبه
    الف) A - B

    ب) ( A - (A ∩B
    ج) مقادير بدست آمده براي (الف) و(ب) را مقايسه نماييد.

    الف)

    A - B = { x | x є A , x B }

    A - B = {1 , 2 , 3 , 4 }- {2 , 4 , 6 , 8 , 10} = {1 , 3}

    ب)برای محاسبه (A - (A ∩Bابتدا مقدار (A ∩B) را محاسبه کرده و سپس (A - (A ∩B را بدست می آوریم.

    A ∩ B = {1 , 2 , 3 , 4}∩ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } = {2 , 4}

    A - (A ∩B) = {1 , 2 , 3 , 4 } - {2 , 4}={1 , 3}

    ج) از مقادیر بدست آمده در (الف) و (ب) نتیجه می شود.

    A - B = A - (A B) , P = {2,4,6,8,10} , U = {1,2,3,000,10}



    3– اگر U مجموعه مرجع { U={2,4,6,8,10,12 مطلوب است مجموعه S بطوري که:

    S= { x | x є U , x - 1 ≥ 5 }

    x - 1 ≥ 5 , x є U => x = 6 , 8 , 10 , 12

    S = {6 , 8 , 10 , 12}

    4- اگر E مجموعه مرجع

    E = { x | x є N , x ≤ 10}

    A = { x | x є N , x ≤ 5 }

    B = { x | x є N , 4 ≤ x ≤ 7 }
    C = { x | x є N , 7 ≤ x ≤ 10 }



    مطلوبست است:
    اولاً: مجموعه هاي C,B,A,E را توسط اعضاي آنها مشخص کنيد:
    ثانياً: مجموعه را بنويسيد.

    اولاً

    E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
    A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7},C={7,8,9,10}

    ثانياً


    B C = {4,5,6,7} {7,8,9,10}={4,5,6,7,8,9,10}
    (B C)' ={1,2,3} A={1,2,3} {1,2,3,4,5}={1,2,3}


    5- اگر A,B,C سه مجموعه غيرتهي و C B A باشد و مقدار عبارت را بدست آوريد.
    از رابطه B ' A نتيجه مي شود

    A = B B

    , 'B )' = B A) و از رابطه BCC نتيجه مي شود پس:

    (A B)' ∩ (B ∩ C) ' = B' ∩ B' = B' ∩ B' = B '


    6 – اگر E مجموعه مرجع{ B={C,D} , A={a,b,c}, E={a,b,c,d مطلوب است.
    الف) مقادير A-B‌و' A ∩ B

    ب) تحقيق کنيد ' A - B = A ∩ B

    الف)

    A - B = { x | x є A , 8x B }={a , b}

    B' = {a , b}, A ∩ B' = {a,b,c}∩{a,b}= {a,b}

    ب)

    A - B = A ∩ B'




    7- A,B,C زير مجموعه هايي از m هستند، قسمت هاشور زده در نمودارهاي زير را با نمادهاي و نامگذاري کنيد.

    ب)الف)

    قسمت هاشور خورده در قسمت الف) عبارت است از:

    (A ∩ C) (B ∩ C) = (A B) ∩ C

    و در نمودار ب) عبارت است از:

    (A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C)



    8- نشان دهيد از رابطه A ∩ B = A ∩ C رابطه B= C نتيجه گرفته مي شود:
    با يک مثال عددي مسئله را مورد مقايسه قرار مي دهيم:

    A={a,b,c},B={b,c,d},C={b,d,e}
    1) A ∩ B={a,b,c} {b,c,d}={b}
    2) A ∩ C={a,b,c} {b,d,e}={b}

    0

      فصل اول - بخش اول: مجموعه ها - تمرينات


    1- اگر آيا عضوي در C وجود دارد که در D نباشد؟

    2- مجموعه{ M={1,2,3,….20 را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگيريد. آنگاه زير مجموعه هايي از همه عضوهاي M را به ترتيب زير مشخص کنيد.
    الف) زير مجموعه اي که اعضاي آن اعداد فرد باشد.
    ب) زير مجموعه اي که اعضاي آن بر 3 بخش پذير باشد.
    ج) زير مجموعه اي که اعضاي آن از 10 بزرگتر باشد.
    د) زير مجموعه اي که اعضاي آن از 7 کوچکتر باشد.


    3- کداميک از مجموعه هاي زير با پايان کداميک و بي پايان است.
    مجموعه اعدد طبيعي فرد، مجموعه اعداد صحيح زوج، مجموعه اعداد اول و زوج


    4– اجتماع هر دسته از مجموعه هاي زير را تعيين کنيد.

    الف)A={2 , 3 ,7}

    B = {1 , 2 , 6}

    ب) A={a , b , c }

    B ={c , d , e}

    5– آيا هميشه ؟ چرا؟

    6- در شکل رو به رو A ∩B , B ∩A را سايه بزنيد.
    A∩B∩C برابر چه مجموعه اي است؟



    7- اگر A زير مجموعه B نباشد و B همه زير مجموعه ي A نباشد هر کدام از احکام زير که درست است با نماد و هر کدام نادرست است با نماد × مشخص کنيد.
    الف)

    ب)
    ج)

    د)
    ه‍)


    8 - اگر داشته باشيم { C={a,e},B={b,d,d},A={a,b,c,d درستي تساويهاي زير را تحقيق کنيد.


    9- در تمرين 8 مجموعه هاي B-C , A-C , A-B را بنويسيد.

    0
    رياضيات اول دبيرستان - آموزش گام به گام


      فصل اول - بخش اول: مجموعه ها(مجموعه مرجع و اجتماع دو مجموعه و.)

    تعريف مجموعه: به تعدادي از اشياء، اعداد، افراد، مشخص که گروهي را تشکيل بدهند و رو به دوازدهم متمايز باشند مجموعه مي گويند. هر يک از اشياء، افراد، اعداد يک مجموعه يک عضو مجموعه ناميده مي شوند.
    N= مجموعه اعداد طبيعي
    z= مجموعه اعداد صحيح (مثبت، منفي و صفر)
    Q= مجموعه اعداد گويا
    R= مجموعه اعداد حقيقي



      نمايش يک مجموعه:

    روش هاي گوناگوني براي مشخص کردن يک مجموعه وجود دارد. درهمه اي روش ها بايد دقيقاً مشخص شود که چه اشيايي عضو مجموعه اند و يا چه چيزهايي عضو مجموعه نيستند.  



      عضو يک مجموعه:

    هر يک از اشيايي که مجموعه را تشکيل مي دهند يک عضو آن مجموعه است و اگر a عضوي مجموعه A باشد مي نويسند a€A ولي مي خوانند در aمتعلق به Aاست. و اگر bعضوي مجموعه A نباشد مي نويسند و مي خوانند b متعلق به A نيست يا b عضو A نيست.  



      مجموعه تهي:

    مجموعه اي که هيچ عضو نداشته باشد به آن مجموعه تهي مي گويند و با نماد {} با نشان مي دهند.  



      مجموعه هاي مساوي:

    هر گاه هر يک از عضوهاي مجموعه A متعلق به مجموعه B و هر يک از اعضاء مجموعه B متعلق به مجموعه A مي باشد در اين صورت گفته مي شود A=B در غير اين صورت گفته مي شود A ≠ B ناميده مي شود مانند{A={20,3,5,70 و {B={3,2,5,70 که A=B است ولي مي باشد.  

    زير مجموعه يا جزئيت مجموعه:
    هر گاه دو مجموعه A و B داشته باشيم بطوري که هر عضو مجموعه B در مجموعه A وجود داشته باشد در اين صورت مجموعه B زير مجموعه اي از مجموعه A مي باشد و به صورت BCA نوشته شده وb زير مجموعه اي ازA خوانده مي شود.

    مجموعه مرجع:
    هر گاه زير مجموعه ها يا عضوهاي يک مجموعه مورد مطالعه قرار گيرد به آن مجموعه اصلي (مجموعه مادر(يا مجموعه مرجع مي گويند و با M نشان مي دهند و معمولاً به شکل مستطيل نمايش مي دهند.





    اجتماع دو مجموعه:

    منظور از اجتماع دو مجموعه A, B مجموعه ديگري است که هر يک از اعضاي آن يا در مجموعه A و يا در مجموعه B و يا در هر دو مجموعه باشد.

    متمم مجموعه:
    هر گاه Mمرجع و A زير مجموعه اي از M باشد، مجموعه A' را که عضوهاي آن عضوهايي از مجموعه مرجع مي باشند که در مجموعه Aوجود ندارند. مجموعه متمم مجموعه A مي شود.

    اشتراک دو مجموعه:
    مجموعه اي که عضوهاي آن از عضوهاي مشترک در مجموعه تشکيل شده باشد اشتراک دو مجموعه ناميده مي شود، اشتراک دو مجموعه A و B را به صورت مي نويسند و مي خوانند Aاشتراک B.
    چنانچه اشتراک دو مجموعه تهي باشد آن دو مجموعه جدا از هم ناميده مي شوند.

    تفاضل دو مجموعه:
    تفاضل دو مجموعه A و B مجموعه اي است متشکل از همه عضوهاي مجموعه A که عضو مجموعه B نيستند و تفاضل دو مجموعه A,B را به صورت A-B مي نويسند و مي خوانند A منهاي Bيا B ازA.

    مجموعه با پايان:
    هر گاه بتوان تعداد اعضاي يک مجموعه مانند A را با يک عدد طبيعي بيان کرد آن مجموعه با پايان است.

    مجموعه بي پايان:
    هر گاه مجموعه ي A با پايان نباشد، اين مجموعه بي پايان است. مجموعه ي تا بي پايان است.

    E={2,4,6,000}