امروز یکشنبه 04 فروردین 1398
sharifriyaziat.cloob24.com
0


1 – به سؤالات زير پاسخ دهيد.


الف) اگر a عدد مثبتي باشد، كوچكترين و بزرگترين عضو مجموعه {a / 2 , a / 3 , a /5 , a/ 7} كدام است؟

ب) از دو كسر مثبت كه مخرجهاي مثبت دارند، كسري بزرگتر است كه صورتش بزرگتر باشد.

     ج) اگر مخرج كسر مثبتي را در عددي ضرب كنيم آن كسربزرگترمی شود.
کوچکتر
     و) اگر صورت و مخرج کسری را در عددی غیر صفر ضرب کنیم کسر تغییر نمی کند
تغییر می کند


2 - به صورت اعشاري بنويسيد.

(n N) , 10-n , 10-10 , 10-8


3 – از كسرهاي زير كدام مولد عدد اعشاري تحقيقي و كدام مولدعدد اعشاري متناوب ساده و كدام متناوب مركب است؟ پس از تحقيق عدد اعشاري هر يك را بنويسيد.

7 /40(الف     
3 /35
7 /11
0.25/3


4- اعداد اعشاري زير را به صورت كسر متعارفي بنويسيد.
الف) 06/0

ب) 76565/0
د) 3737/2

ه ) 3777/2


5- كسر متعارفي مساوي هريك از اعداد اعشاري زير را بنويسيد.


 

6- چهار عدد گويا بين دو عدد گوياي 2/1 و 4/1 بنويسيد.

 

7- به صورت نماد علمي بنويسيد:
واحد جرم اتمي:

عددآووگادرو:

بارپروتون:

 

8- گويا يا اصم بودن اعداد زير را تعيين كنيد:

1)6

2)0/4343

3)Π

4) - 5/6

5) 2/9


 

تمرين هاي تكميلي:‌ با پاسخ:
1- 8 عدد گويا بين 3 /2 ,4/3 قرار بدهيد.
صورت و مخرج كسر 3/2 را در 40 و صورت و مخرج 4/3 را در 30ضرب مي نماييم.


 

 

مي بينيد كه اعداد گوياي 120 /81 و.... 120/89 بين دو عدد گوياي 3/2 و 4/3 واقع مي باشند.

 

2- بين هر دو عدد گويا، سه عدد گويا پيدا كنيد.
48،49



 

 

3 – مقدار كسرهاي زير را به ازاي n=1,2,3,4 به صورت كسرهاي اعشاري درآوريد.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- اگر3:4= x / y باشد مقدار عبارت(x-2y) / (x + 2y) را بيابيد.


تركيب نسبت در صورت و تفصيل نسبت در مخرج انجام شده است.


 

5 – y با عكس مجذور x‌ متناسب است اگر y=16 آنگاه x=1 است، حال x=8 است. آنگاه y چقدر خواهد بود؟



 

 

6- كوچكترين و ساده ترين كسر را بيابيد كه خارج قسمت آن بر هر يك از كسرهاي زير عدد صحيح باشد.
كوچكترين مضرب مشترك بين صورتهاي سه كسر را صورت كسر و بزرگترين مقسوم عليه مشترك بين مخرجها را مخرج كسر مي نويسيم.

6/7 = 5/14 =10/21


7 /30عدد مطلوب مي باشد.

6 5 = 30 => 30 10 =30 =>30= ک.م.م
7∩14 = 7 => 7 ∩ 21 = 7 => 7 = ب. م.م



تست هاي كنكوري: بخش چهار

1- كسر تحويل ناپذيرa /b برابر كسر462/594 است، a+b كدام است؟
1) 14

2)15

3)16

4)17


2 – حاصل مي شود؟
1) 24/0

2)

3)

4)3/0


     3- حاصلبرابر است با:

1)37
2)(3/2) 7
3)(2/3)7
4)27


4- تفاضل صورت از مخرج كسر متعارفي مولد عدد اعشاري 38/0 به كداميك از اعداد زير بخش پذير است؟
1) 17

2) 5

3) 6

4)11


5- حاصل عبارت كدام است؟
1) 7/4

2) 8/7

3) 7/16

4) 7/8


6- كسر مولد كدام است؟
1)97/136

2)99/136

3)99/137

4)137/97


7- اگر N,Z,Q,R به ترتيب مجموعه اعداد طبيعي،صحيح، گويا و حقيقي باشندف كدام رابطه نادرست است؟
1)R Q

2)N R

3) Z N

4)Q N



  کلید تست ها

سوالجوابسوال جواب
1362
272
338
449
5510
 
0

  ‌مجموعه اعداد گويا


مجموعه اعداد گويا مجموعه اي است از اعداد كه آن را بصورت كلي زير مي توان نوشت:

Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 }


مجموعه اعداد گويا عضو ابتدا و انتها ندارد.
مجموعه اعداد گويا نسبت به عمل تقسيم بسته نيست، زيرا: صفر عضوي از مجموعه اعداد گويا است ولي (0/ عدد) معني ندارد.
سعي شود همراه مخرج عدد گويا مثبت باشد.

-a/b = a/-b = -(a/b)


دو عدد گويا مساوي:
هر گاه صورت و مخرج عدد گويايي را در عددي (مخالف صفر) ضرب و يا به عددي (مخالف صفر) تقسيم كنيم عدد گويا تغيير نمي كند و عدد گويايي مساوي عدد گوياي اولي بدست مي آيد يعني:



اعداد گوياي بين دو عدد گويا:
بين دو عدد طبيعي متوالي يا دو عدد صحيح متوالي، عدد طبيعي يا صحيح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گويا اين مطلب درست نيست. بين هر دو عدد گوياي متمايز بي شمار عدد گويا وجود دارد.
مثلاً عدد 4/1 يكي از اعداد گويا بين صفر و يك است و اين مطلب را به صورت 1<4/1>0 مي نويسند، و يا 3/1 - يكي از اعداد گويا بين 4/1 - و 2/1 - است و بصورت

4/1- > 3/1 - > 3/2 - مي نويسند.

ميانگين دو عدد گويا:

يعني ميانگين دو عدد گويا متمايز بين آن دو عدد قرار دارد.
هر عدد گويا نظير a /b كه صورت و مخرج آن عامل مشترك نداشته باشند عدد گوياي تحويل ناپذير مي نامند.

a  b =1 یا (a , b)=1

نمايش اعشاري اعداد گويا (تحويل ناپذير)
اعداد گويا سه نوع هستند.

نوع اول:

در مخرج كسر پس از تجزيه به عاملهاي اول فقط عاملهاي 2و5 وجود دارد. در اين صورت اگر صورت كسر را به مخرج آن تقسيم كنيم پس از چند رقم اعشار باقيمانده تقسيم صفر مي شود.
در اين صورت گفته مي شود عدد گويا قابل تبديل به كسر اعشاري تحقيقي يا مختوم مي باشد.

نوع دوم:

در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد. در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار میشوند.این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند.


نوع سوم:
چنانچه كسر پس از تجزيه كردن به عامل هاي اول عامل هاي 2و 5 و ساير عوامل اول وجود داشته باشد در اين صورت خارج قسمت بعد از مميز غير از ارقام دوره گردش ارقام ديگري قبل از دوره گردش وجود دارد كه تكراري نمي شوند و باقيمانده هرگز صفر نخواهد شد. اين عدد را عدد اعشاري متناوب مركب نامند.


تذكر: در حالت (1) اگر a را بر b تقسيم كنيم وعمل تقسيم را ادامه بدهيم باقيمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسيم كنيم و عمل تقسيم را ادامه بدهيم باقي مانده هيچوقت صفر نخواهد شد.


در تبديل عدد اعشاري متناوب به كسر متعارفي:
هر عدد اعشاري متناوب را مي توان به صورت يك كسر گويا (كسر متعارفي نوشت) براي اينكار به ترتيب زير انجام مي دهيم.
1) آن عدد را مساوي x قرار مي دهيم (a)

2) طرفين رابطه (a) را در10 kضرب مي كنيم. (k تعداد ارقام غيرگردش است) (b)

3) طرفين رابطه ي (b) را در 10 ضرب مي كنيم (p‌ تعداد ارقام گردش است) (c)
4) رابطه b‌را از c كم مي كنيم و سپس x را بدست مي آوريم و ساده مي كنيم.


تبديل عدد اعشاري تحقيقي به كسر گويا (كسر متعارفي)

      براي اين كار كافي است كه كسر متعارفي بنويسيم كه صورت آن ارقام اعشاري بعد از مميزمخرج آن10 n

باشد (تعداد ارقام بعد از مميز است)


تبديل كسر اعشاري متناوب ساده به كسر متعارفي:
براي اين كار كسري مي نويسيم كه صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادي 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.


تبديل عدد اعشاري متناوب مركب به كسر متعارفي:
براي اين كار كسري كه مي نويسيم كه صورت آن يك دوره تناوب و غيرتناوب منهاي يك دوره غير تناوب باشد و مخرج آن تعدادي 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوي آن تعدادي صفر به تعداد ارقام دوره غيرتناوب باشد)

مجموعه اعداد حقيقي:
مي دانيم هر عدد گويا مي شود و به صورت يك عدد اعشاري (تحقيقي – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاري يك عدد گويا است.
حال به عدد اعشاري 20200200020000/0 توجه كنيد كه بعد از مميز عددهاي 2 و صفرها به طريقي تكرار شده اند ولي هيچ شناختي به عدد اعشاري متناوب ندارد. يعني اين يك عدد اعشاري متناوب نيست. پس اين يك عدد غيرگويا است. اين عدد را يك عدد گنگ يا (اصم) مي نامند.

تعريف: هر عدد اعشاري كه حقيقي و متناوب نباشد را يك عدد اصم مي گويند. مانند:

Π = 3 / 141592633589793

√2 = 1/414213
℮ = 2 / 71...

مجموعه اعداد گنگ (اصم):
همه ي اعداد اصم مجموعه اي را تشكيل مي دهند كه به آن مجموعه اعداد گنگ مي نامند و با Q c نشان مي دهند.


مجموعه اعداد حقيقي:
همه ي اعداد گويا و اصم مجموعه اي را تشكيل مي دهند كه به آن مجموعه اعداد حقيقي مي گويند و با k نشان مي دهند. پس:
 

R = Q Q c


 


  نماد علمي:

به تساوي روبرو توجه كنيد:
 

0/3456 = 3/456 * 10-3

0/00007 =7 * 10-5

1382 = 1/382 *103

700000 = 7 * 105

همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب يك عددبين 1و10 و توان مناسبي از 10، گويند اعداد فوق به صورت نماد علمي نوشته شده است.
براي جلوگيري از اشتباه در عمليات و آسان خواندن اعداد بسيار بزرگ و اعداد بسيار كوچك از نماد علمي استفاده مي كنند.
 

     يعني اينگونه اعداد را به صورتd * 10 n مي نويسند كه در آن 1≤ d , d < 10 ,  n z  

 مي نويسند كه 1 اين نمايش اعداد را نمايش علمي اعداد يا نماد علمي اعداد مي گويند.
 

براي نوشتن يك عدد به صورت نماد علمي از قرارداد زير استفاده مي كنيم:
الف) اولين رقم غير صفر عدد مذكور را از سمت چپ مشخص مي كنيم.
ب) مميز را در سمت راست همان عدد قرار مي دهيم
ج)اگر مميز از سمت راست به چپ حركت كند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه مي شود و اگر مميز از چپ به راست حركت كند به تعداد ارقام از توان 10 كم مي شود.
 

678910/ = 6/78910 * 10 5

0/000623 = 6/23 * 10-4

 

    

0

1 – حاصل هر عبارت را به صورت عدد توان دار بنويسيد.

(-الف) (3-)×(3-) ×(3
(-ب) (2/0-) ×(2/0-) ×(2/0-) ×(2/0
ج) 1/0×1/0×1/0×1/0×1/0
(-1/2) (-1/2) (-1/2) (-1/2)(د


2- هر كدام از احكام زير را كه درست است با نماد P و هر كدام كه نادرست است با نماد × مشخص كنيد.

(m4 +n2 )/m 2= m 2+ (n/m)2 53 + 73 = (5 +7)3الف)
(2m + 3n) 2= 4m 2× n2(11- 4)3 +113 - 43ب)
(va × b)2 = 49 a2 b24a 2+ 9b2 =(2a + 3b)2ج)

3 – اعداد زير را به صورت توان منفي بنويسيد.
الف) 0000001/0

ب)000000002/0
ج)000125/0

د)00007/0

4– اگر0<1 ؟ a بزرگتر است یا 2 a ، 7 a بزرگتر است یا8

5– به جايچه عددي را بايد بنويسيم تا تساوي7 2k = ×7k درست باشد؟


6 – ب.م.م و ك.م.م هر يك از زوجهاي زير را از راه تجزيه بدست آوريد.
(72,48)(456,288)

تمرين تكميلي: (با پاسخ) بخش سوم
1 – حاصل عبارات زير را بدست آوريد:

-3 -2 =>-3-2 =-(3)-2 = -(1/3)2 = -1/9

-3 / 4-1 =>-3 / 4-1 = -3/(1/4)=-12

7-2 => 7-2=(1/7)2 = 1/49

-7(-3)0 => -7(-3)0=-7(1)=-7


2- مقدار x را حساب كنيد.

16 x=32 =>16 x=32 =>(2 4) x = 25 => 24x =>4x=5 => x=5/4


3 – حاصل عبارات زير را بدست آوريد:







  تست هاي كنكوري:

1- از معادله 162x-1= 83x +1مقدار x کدام است؟

1) 7

2) -7

3) 4

4)4-


2 – كوچكترين مخرج مشترك براي دو كسر با مخرج هاي 126،168 چه عددي است؟
1) 336

2) 378

3)504

4)672


3 – حاصل (5/1) ٪ (4/45) كدام است؟
1) 5

2) 10

3) 5/12

4) 25


4- كوچكترين مضرب مشترك دو عدد 60 و 72 چند واحد از بزرگترين مقسوم عليه آن بيشتر است؟
1) 38

2) 348

3)358

4)328


5- اگر بزرگترين مقسوم عليه مشترك دو عدد برابرb=3*2k+1* 5k+1 , a=2k-1 *32*5k-1

300 باشد، K چند است؟

1) 3

2) 2

3)4

4)5


6- كوچكترين مضرب مشترك دو عدد 24و36 چند واحد از بزرگترين مقسوم عليه مشترك آن بيشتر است؟
1) 48

2)54

3)60

4)72


7- ربع عدد3- (2) كدام است؟
1) 8/1

2) 16/1

3) 32/1

4) 64/1


8- نسبت بزرگترين مقسوم عليه مشترك به كوچكترين مضرب مشترك دو عدد 45 و 60 كدام است؟
1) 15/1

2) 12/1

3) 18/1

4) 32/1


9- حاصلكدام است؟

1) 7

2)5/3

3)75/1

4)1


10- بزرگترين مقسوم عليه مشترك اعداد 330و120و270 كدام است؟
1) 6

2) 12

3) 20

4) 30


سوالجوابسوال جواب
1263
2373
3482
4292
51104
0

فصل اول - بخش سوم: توان

هر گاه بخواهيم عددي را چند بار در خودش ضرب كنيم به جاي اين عمل آن را به صورت توان مي نويسيم (عدد را نوشته و تعداد دفعات ضرب را بالاي عدد كمي سمت راست قرار مي دهيم.

5*5*5*5*5*5 = 56


5 را پايه و 6 را نما مي نامند. «5 به توان 6» و56 را عدد توان دار مي گوييم.
اگرR a باشد حاصل ضرب را به صورتa n مي نويسند و مي خوانند a به توان n يا «توان nام a» وa n را يك عدد توان دار و a را پايه و n را نما مي گويند.
هر گاه پايه عدد 10 باشد و بخواهيم به توان برسانيم حاصل آن بصورت زير است:




عامل هاي اول:
اگر در تقسيم عدد طبيعي a بر عدد طبيعي b باقي مانده صفر شود، در اين صورت b را يك مقسوم عليه يا يك عامل a مي گويند.
• اگر a,b,c اعداد طبيعي باشند و a=bc در اين صورت مي گويند عدد a بر اعداد b,c بخش پذير است و b,c مقسوم عليه هاي a يا عامل هاي a هستند.
• عدد اول: هر عدد طبيعي بزرگتر از 1 را كه غير از خودش و 1 مقسوم عليه ديگري نداشته باشد به آن عدد اول مي گويند. به عبارت ديگر هر عدد طبيعي كه فقط و فقط دو مقسوم عليه متمايز داشته باشد، به آن عدد اول مي گويند.
• عدد 1 نه اول است و نه تجزيه پذير (نه مركب)
• عامل هاي اول يك عدد، يعني مقسوم عليه هاي آن عدد كه هر يك عدد اولند.
• وقتي يك عدد طبيعي را به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول مي نويسند مي گويند آن عدد به عامل هاي اول تجزيه شده است.
• عامل هاي اول يك عدد:
• هر عدد طبيعي بزرگتر از يك كه عدد اول نباشد بصورت حاصل ضرب چند عدد اول تجزيه مي شود، اين چند عدد اول عاملهاي اول آن عدد مي باشند.

نكته اصلي حساب:
هر عدد تجزيه پذير را با راه حل هاي مختلف و صرف نظر از ترتيب عامل ها، تنها به يك شكل به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول تجزيه مي شود.

مجذور كامل:
عدد طبيعي n را مجذور كامل مي گويند. هر گاه پس از تجزيه N به عامل هاي اول نماي هر يك از عامل ها زوج باشد.


مقسوم عليه مشترك:
هر گاه عدد طبيعي a,b بر d بخش پذير باشند عدد d را مقسوم عليه مشترك a,b مي نامند.

بزرگترين مقسوم عليه مشترك دو عدد:
دو عدد طبيعي a,b را در نظر بگيريم. مقسوم عليه مشتركي كه از اين دو عدد، از همه مقسوم عليه هاي مشترك بزرگتر باشد، بزرگترين مقسوم عليه مشترك دو عدد a,b مي نامند و بزرگترين مقسوم عليه مشترك دو عدد با نماد ب م م و يا بزرگترين مقسوم عليه مشترك دو عدد a,b را با (a,b) نمايش مي دهند.

كوچكترين مضرب مشترك دو عدد:
كوچكترين مضرب مشترك عددهاي طبيعي a,b را با نماد {a,b} يا ك م م نمايش مي دهند. مضرب مشتركي را كه از همه مضرب هاي مشترك a,b كوچكتر باشد كوچكترين مضرب مشترك دو عد مي گويند.


تعيين ب. م. م و ك.م.م اعداد با استفاده از تجزيه عوامل اول:
هر گاه دو عدد را حاصلضرب عوامل اول تجزيه نماييم.
براي محاسبه ب.م.م. از هر دو عامل مشترك آن را كه نماي كوچكتر دارد اختيار كرده و در هم ضرب مي نمائيم.
براي محاسبه ك.م.م از هر دو عامل اول مشترك آن را كه نماي بزرگتر دارد اختيار كرده و عوامل غيرمشترك را هم عيناً مي نويسيم و در هم ضرب مي نمائيم.

0


  فصل اول - بخش دوم: مجموعه های هم ارز(تمرينات و تست هاي كنكوري)

تمرينات
1 – مجموعه اعداد طبيعي فرد و زوج را در دو سطر بنويسيد و نشان دهيد كه اين دو مجموعه هم ارزند.

2 - هر كدام از احكام زير را كه درست است با نماد و هر كدام را كه نادرست است با × مشخص كنيد.
الف) مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع بسته است.
ب) مجموعه {1و0و-1} نسبت به عمل ضرب بسته است.
ج) مجموعه اعداد طبيعي نسبت به عمل تفريق بسته است.
د) مجموعه z نسبت به عمل ضرب بسته است.


3 – هر كدام از احكام زير كه درست است با نماد و هر كدام نادرست است با نماد × مشخص كنيد.
الف- مجموعه هاي N و E هم ارزند.
ب) مجموعه هاي N و W هم ارزند.


4 - هر كدام از احكام زير را كه درست است با نماد و هر كدام كه نادرست است با × مشخص كنيد:

الف)E = N O

ب) = O ∩ E

E ∩ N = N ( ج

د) E = N N



  تست هاي كنكوري: بخش دوم


1 – كدام گزينه در مورد مجموعه اعداد طبيعي فرد و زوج نادرست است؟
1) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل جمع بسته است
2) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل ضرب بسته است
3) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل جمع بسته است
4) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل ضرب بسته است


2 – مجموعه اعداد طبيعي N، اعداد حسابي w و اعداد صحيح z بوده است. نتيجه نادرست كدام است؟
1)W (N W)

2)W (N ∩ W)

3)W (W Z)

4) W (N ∩ Z)


3 – اگر A و B دو زير مجموعه از اعداد طبيعي، A متناهي (با پايان) و B نامتناهي (بي پايان) مي باشد، كدام مجموعه الزاماً نامتناهي (بي پايان) است؟
1)' B ' A

2) ' A ∩ B
3) ' B A

4)' A' ∩ B


4 – اگر A مجموعه ارقام زوج طبيعي بين 1 تا 10 و مجموعه اعداد اول بين 1 تا 10 مي باشد. مجموعه چند زير مجموعه از مجموعه بيشتر دارد؟
1) 96

2) 126

3)48

4)98


5 – كدام مجموعه زير تهي است؟
1) مجموعه اعداد طبيعي فرد بين 8 و10
2) مجموعه اعداد طبيعي زوج بين 9 و 11
3) مجموعه اعداد طبيعي مضرب 3 بين 13 و 15
4) مجموعه اعداد طبيعي مضرب 3 بين 14 و 16


6 – مجموعه A={106 + 1 , -106 , 10 7}با كدام يك از مجموعه هاي زير در تناظر يك به يك است؟

{-6 , -7}(1
{1,2,3,4,7}(2
{4,7,8}(3
{1,6,7,8}(4

7- اگر مجموعه مرجع مجموعه ي اعداد طبيعي ,B={2,4,7}, A={n|n≥5}آنگاه B ' A برابر کدام است؟

1){1,2,3,4,5,7}

3){1,2,3,4}
2){1,2,3,4,7}

4){1,2,3,4}


سوالجوابسوال جواب
1163
2372
318
429
5310
 
0


  فصل اول - بخش اول: مجموعه های هم ارز

مجموعه اعداد – بخش دوم
مجموعه هاي هم ارز:
دو مجموعه A,B را هم ارز مي گويند كه عضوهايشان در تناظر يك به يك قرار داشته باشند. اگر مجموعه A با مجموعه B‌هم ارز باشند مي نويسندB A و مي خوانند« A هم ارز B است.»



اگر A,B هم ارز نباشند به صورت نشان داده مي شود و مي خوانند A هم ارز B نيست.

مفهوم عدد:
نمادي كه براي نشان دادن تعداد اعضاي يك مجموعه بكار مي رود عدد ناميده مي شود. اعداد طبيعي عضوهاي مجموعه N مي باشند.

N={1,2,3,4,5,….N,…}

بعضي از زير مجموعه هاي N:
1- مجموعه اعداد طبيعي زوج:

و هر عدد طبيعي زوج را به صورت 2n نشان مي دهند كه در آن N n است.

E={2,4,6,8,...}={2n | n N}


2- مجموعه اعداد طبيعي فرد:
هر عدد طبيعي فرد را به صورت 2n-1 نشان مي دهند كه در آن N n است.

O={1,3,5,7,...}={2n-1 | n N}

3- مجموعه اعداد حسابي:

E={0,1,2,3,...}={n-1 | n N}

4- مجموعه مضرب هاي طبيعي يك عدد

aمجموعه مضرب هاي طبيعي عدد={a , 2a , 3a , 4a ,...}={ka | k N}

مجموعه قرينه هاي اعداد طبيعي:
مجموعه ای

{-1 , -2 , -3 , -4 ,...}={ -n | n N}

را مجموعه قرينه ي اعداد طبيعي يا مجموعه اعداد صحيح منفي مي گويند.

مجموعه اعداد صحيح:
عددهاي 0و1± و2± و3±و.... را اعداد صحيح مي نامند و به صورت زير نشان مي دهند.

Z={….,-2,-1,0,1,2,….}


مجموعه اعداد زوج در z:

={….,-4,-2,0,4,….}={2K|K Z}مجموعه عددهاي صحيح و زوج

مجموعه اعداد فرد در Z:


={….,-5,-3,-1,1,3,5,...}={2K-1|K Z}مجموعه عددهاي صحيح فرد


بسته بودن يك مجموعه نسبت به يك عمل:
مجموعه a نسبت به يك عمل (جمع، تفريق، ضرب، تقسيم...) وابسته است اگر روي هر دو عضو دلخواه از مجموعه عمل را انجام دهيم حاصل هم در مجموعه وجود داشته باشد.
مجموعه اعداد طبيعي زوج نسبت به عمل جمع بسته است. زيرا مجموع هر عدد طبيعي زودج يك عدد زوج است.
مجموعه اعداد طبيعي فرد نسبت به عمل ضرب بسته است زيرا حاصل ضرب هر دو عدد طبيعي فرد يك عدد فرد است.
مجموعه اعداد طبيعي فرد نسبت به عمل جمع بسته نيست، زيرا مجموع هر دو عدد طبيعي فرد يك عدد زوج است نه يك عدد فرد.

0

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
تست هاي كنكوري:بخش اول


1 – مجموعه هاي A ∩ B داراي 5 عضو، A ∩ B داراي 2 عضو و A-B نيز داراي 2 عضو بوده، مجموعه ي B-A چند عضو دارد؟
1) 4

2)3

3)2

4)1


2- اگر A مجموعه اعداد دو رقمي {B={vk,kєA آنگاه مجموعه تواني (A ∩ B) چند عضو دارد؟
1)6

2)8

3)16

4)32


3- از مجموعه A يك عضو برداشته و به مجموعه B اضافه نموده ايم. تعداد اعضاي مجموعه B تغيير نكرده است. كدام رابطه بين A,B نتيجه مي شود؟
1) B A

2) A B

3) ≠ A ∩ B

4) B = B A


4 – قسمت هاشورزده شكل روبرو، تصوير ون كدام مجموعه است؟

A ∩ (B C)(1
(A ∩ B) C (2
(B ∩ C) A(3
(B A) ∩ C (4


5 – اگر A2 مجموعه زير مجموعه هاي دو عضوي مجموعه{ A={a,b,c,d,e و B2 زير مجموعه هاي دو عضوي{ B={a,b,c,e,f باشند، مجموعهA2 ∩ B2 چند عضو دارد؟
1) 6

2) 7

3) 8

4) 9


6- اگر{ A1={1,2,3,…,10 باشد و{ A2={2,3,…,11 و{ A3={3,4,...,12 و... آن گاه مجموعه A1∩ A2 ∩ A3 ∩... ∩ AA چند عضو دارد؟
1)3

2)4

3)5

4)6


7- اگر دو عضو از اعضاي مجموعه A را حذف كنيم. تعداد زير مجموعه هاي آن384 واحد كم مي شود. A چند عضو دارد؟
1)9

2)10

3)11

4)12


8- كداميك از مجموعه هاي زير يك مجموعه تهي است؟
1) {0}

2) مجموعه ي اعداد اول كوچكتر از 3

3) {}

4) مجموعه ي اعداد اول بين 24 و 28


9 – دو مجموعه A,B برابرند و هرگاه:
1) تمام عضوهاي A وB وجود داشته باشد.
2) هر عضو دلخواه از A و B وجود داشته باشد.
3) هر يك زير مجموعه ي ديگري باشد.
4) تعداد عضوهاي A و B برابر X باشند.


10- اگر { x | x > 1} = A , B = {x |x < -1} آنگاه ' A' ∩ Bكدام مجموعه است؟

1){x | -1 < x <1}

2){x | -1 < x ≤ 1}

3){x | -1 ≤ x <1}

4){x | -1 ≤ x ≤1}

سوالجوابسوال جواب
1461
2271
3384
4493
51104

    

0

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
(تمرين هاي تكميلي (با پاسخ) بخش اول):


1- آيا مجموعه N10 نسبت به عمل جمع بسته است؟
مجموعه اي نسبت به عمل جمع بسته است و اگر براي هر عضو دلخواه آن از مجموعه عمل جمع انجام شود حاصل جمع عضوي از جامعه باشد.

N10={1,2,3,…..,10} A Є N10 , 9 Є N10 => "(8+9=17) Є N 10

مجموعه N10 نسبت به عمل جمع بسته نيست.

2-اگر{ B={2,4,6,8,10} , A={1,2,3,4 مطلوبست محاسبه
الف) A - B

ب) ( A - (A ∩B
ج) مقادير بدست آمده براي (الف) و(ب) را مقايسه نماييد.

الف)

A - B = { x | x є A , x B }

A - B = {1 , 2 , 3 , 4 }- {2 , 4 , 6 , 8 , 10} = {1 , 3}

ب)برای محاسبه (A - (A ∩Bابتدا مقدار (A ∩B) را محاسبه کرده و سپس (A - (A ∩B را بدست می آوریم.

A ∩ B = {1 , 2 , 3 , 4}∩ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } = {2 , 4}

A - (A ∩B) = {1 , 2 , 3 , 4 } - {2 , 4}={1 , 3}

ج) از مقادیر بدست آمده در (الف) و (ب) نتیجه می شود.

A - B = A - (A B) , P = {2,4,6,8,10} , U = {1,2,3,000,10}



3– اگر U مجموعه مرجع { U={2,4,6,8,10,12 مطلوب است مجموعه S بطوري كه:

S= { x | x є U , x - 1 ≥ 5 }

x - 1 ≥ 5 , x є U => x = 6 , 8 , 10 , 12

S = {6 , 8 , 10 , 12}

4- اگر E مجموعه مرجع

E = { x | x є N , x ≤ 10}

A = { x | x є N , x ≤ 5 }

B = { x | x є N , 4 ≤ x ≤ 7 }
C = { x | x є N , 7 ≤ x ≤ 10 }



مطلوبست است:
اولاً: مجموعه هاي C,B,A,E را توسط اعضاي آنها مشخص كنيد:
ثانياً: مجموعه را بنويسيد.

اولاً

E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7},C={7,8,9,10}

ثانياً


B C = {4,5,6,7} {7,8,9,10}={4,5,6,7,8,9,10}
(B C)' ={1,2,3} A={1,2,3} {1,2,3,4,5}={1,2,3}


5- اگر A,B,C سه مجموعه غيرتهي و C B A باشد و مقدار عبارت را بدست آوريد.
از رابطه B ' A نتيجه مي شود

A = B B

, 'B )' = B A) و از رابطه BCC نتيجه مي شود پس:

(A B)' ∩ (B ∩ C) ' = B' ∩ B' = B' ∩ B' = B '


6 – اگر E مجموعه مرجع{ B={C,D} , A={a,b,c}, E={a,b,c,d مطلوب است.
الف) مقادير A-B‌و' A ∩ B

ب) تحقيق كنيد ' A - B = A ∩ B

الف)

A - B = { x | x є A , 8x B }={a , b}

B' = {a , b}, A ∩ B' = {a,b,c}∩{a,b}= {a,b}

ب)

A - B = A ∩ B'




7- A,B,C زير مجموعه هايي از m هستند، قسمت هاشور زده در نمودارهاي زير را با نمادهاي و نامگذاري كنيد.

ب)الف)

قسمت هاشور خورده در قسمت الف) عبارت است از:

(A ∩ C) (B ∩ C) = (A B) ∩ C

و در نمودار ب) عبارت است از:

(A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C)



8- نشان دهيد از رابطه A ∩ B = A ∩ C رابطه B= C نتيجه گرفته مي شود:
با يك مثال عددي مسئله را مورد مقايسه قرار مي دهيم:

A={a,b,c},B={b,c,d},C={b,d,e}
1) A ∩ B={a,b,c} {b,c,d}={b}
2) A ∩ C={a,b,c} {b,d,e}={b}

0

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها - تمرينات


1- اگر آيا عضوي در C وجود دارد كه در D نباشد؟

2- مجموعه{ M={1,2,3,….20 را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگيريد. آنگاه زير مجموعه هايي از همه عضوهاي M را به ترتيب زير مشخص كنيد.
الف) زير مجموعه اي كه اعضاي آن اعداد فرد باشد.
ب) زير مجموعه اي كه اعضاي آن بر 3 بخش پذير باشد.
ج) زير مجموعه اي كه اعضاي آن از 10 بزرگتر باشد.
د) زير مجموعه اي كه اعضاي آن از 7 كوچكتر باشد.


3- كداميك از مجموعه هاي زير با پايان كداميك و بي پايان است.
مجموعه اعدد طبيعي فرد، مجموعه اعداد صحيح زوج، مجموعه اعداد اول و زوج


4– اجتماع هر دسته از مجموعه هاي زير را تعيين كنيد.

الف)A={2 , 3 ,7}

B = {1 , 2 , 6}

ب) A={a , b , c }

B ={c , d , e}

5– آيا هميشه ؟ چرا؟

6- در شكل رو به رو A ∩B , B ∩A را سايه بزنيد.
A∩B∩C برابر چه مجموعه اي است؟



7- اگر A زير مجموعه B نباشد و B همه زير مجموعه ي A نباشد هر كدام از احكام زير كه درست است با نماد و هر كدام نادرست است با نماد × مشخص كنيد.
الف)

ب)
ج)

د)
ه‍)


8 - اگر داشته باشيم { C={a,e},B={b,d,d},A={a,b,c,d درستي تساويهاي زير را تحقيق كنيد.


9- در تمرين 8 مجموعه هاي B-C , A-C , A-B را بنويسيد.

0
رياضيات اول دبيرستان - آموزش گام به گام


  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها(مجموعه مرجع و اجتماع دو مجموعه و...)

تعريف مجموعه: به تعدادي از اشياء، اعداد، افراد، مشخص كه گروهي را تشكيل بدهند و رو به دوازدهم متمايز باشند مجموعه مي گويند. هر يك از اشياء، افراد، اعداد يك مجموعه يك عضو مجموعه ناميده مي شوند.
N= مجموعه اعداد طبيعي
z= مجموعه اعداد صحيح (مثبت، منفي و صفر)
Q= مجموعه اعداد گويا
R= مجموعه اعداد حقيقي



  نمايش يك مجموعه:

روش هاي گوناگوني براي مشخص كردن يك مجموعه وجود دارد. درهمه اي روش ها بايد دقيقاً مشخص شود كه چه اشيايي عضو مجموعه اند و يا چه چيزهايي عضو مجموعه نيستند.  



  عضو يك مجموعه:

هر يك از اشيايي كه مجموعه را تشكيل مي دهند يك عضو آن مجموعه است و اگر a عضوي مجموعه A باشد مي نويسند a€A ولي مي خوانند در aمتعلق به Aاست. و اگر bعضوي مجموعه A نباشد مي نويسند و مي خوانند b متعلق به A نيست يا b عضو A نيست.  



  مجموعه تهي:

مجموعه اي كه هيچ عضو نداشته باشد به آن مجموعه تهي مي گويند و با نماد {} با نشان مي دهند.  



  مجموعه هاي مساوي:

هر گاه هر يك از عضوهاي مجموعه A متعلق به مجموعه B و هر يك از اعضاء مجموعه B متعلق به مجموعه A مي باشد در اين صورت گفته مي شود A=B در غير اين صورت گفته مي شود A ≠ B ناميده مي شود مانند{A={20,3,5,70 و {B={3,2,5,70 كه A=B است ولي مي باشد.  

زير مجموعه يا جزئيت مجموعه:
هر گاه دو مجموعه A و B داشته باشيم بطوري كه هر عضو مجموعه B در مجموعه A وجود داشته باشد در اين صورت مجموعه B زير مجموعه اي از مجموعه A مي باشد و به صورت BCA نوشته شده وb زير مجموعه اي ازA خوانده مي شود.

مجموعه مرجع:
هر گاه زير مجموعه ها يا عضوهاي يك مجموعه مورد مطالعه قرار گيرد به آن مجموعه اصلي (مجموعه مادر(يا مجموعه مرجع مي گويند و با M نشان مي دهند و معمولاً به شكل مستطيل نمايش مي دهند.





اجتماع دو مجموعه:

منظور از اجتماع دو مجموعه A, B مجموعه ديگري است كه هر يك از اعضاي آن يا در مجموعه A و يا در مجموعه B و يا در هر دو مجموعه باشد.

متمم مجموعه:
هر گاه Mمرجع و A زير مجموعه اي از M باشد، مجموعه A' را كه عضوهاي آن عضوهايي از مجموعه مرجع مي باشند كه در مجموعه Aوجود ندارند. مجموعه متمم مجموعه A مي شود.

اشتراك دو مجموعه:
مجموعه اي كه عضوهاي آن از عضوهاي مشترك در مجموعه تشكيل شده باشد اشتراك دو مجموعه ناميده مي شود، اشتراك دو مجموعه A و B را به صورت مي نويسند و مي خوانند Aاشتراك B.
چنانچه اشتراك دو مجموعه تهي باشد آن دو مجموعه جدا از هم ناميده مي شوند.

تفاضل دو مجموعه:
تفاضل دو مجموعه A و B مجموعه اي است متشكل از همه عضوهاي مجموعه A كه عضو مجموعه B نيستند و تفاضل دو مجموعه A,B را به صورت A-B مي نويسند و مي خوانند A منهاي Bيا B ازA.

مجموعه با پايان:
هر گاه بتوان تعداد اعضاي يك مجموعه مانند A را با يك عدد طبيعي بيان كرد آن مجموعه با پايان است.

مجموعه بي پايان:
هر گاه مجموعه ي A با پايان نباشد، اين مجموعه بي پايان است. مجموعه ي تا بي پايان است.

E={2,4,6,000}