تمرینات و تست های کنکوری

1 – به سؤالات زیر پاسخ دهید.

الف) اگر a عدد مثبتی باشد، کوچکترین و بزرگترین عضو مجموعه {a / 2 , a / 3 , a /5 , a/ 7} کدام است؟

ب) از دو کسر مثبت که مخرجهای مثبت دارند، کسری بزرگتر است که صورتش بزرگتر باشد.

2 - به صورت اعشاری بنویسید.

(n N) , 10^-n , 10^-10 , 10^-8

3 – از کسرهای زیر کدام مولد عدد اعشاری تحقیقی و کدام مولدعدد اعشاری متناوب ساده و کدام متناوب مرکب است؟ پس از تحقیق عدد اعشاری هر یک را بنویسید.

4- اعداد اعشاری زیر را به صورت کسر متعارفی بنویسید.
الف) 06/0

ب) 76565/0
د) 3737/2

ه ) 3777/2

5- کسر متعارفی مساوی هریک از اعداد اعشاری زیر را بنویسید.

6- چهار عدد گویا بین دو عدد گویای 2/1 و 4/1 بنویسید.

7- به صورت نماد علمی بنویسید:
واحد جرم اتمی:

عددآووگادرو:

بارپروتون:

8- گویا یا اصم بودن اعداد زیر را تعیین کنید:

1)6

2)0/4343

3)Π

4) - 5/6

5) 2/9

تمرین های تکمیلی:‌ با پاسخ:
1- 8 عدد گویا بین 3 /2 ,4/3 قرار بدهید.
صورت و مخرج کسر 3/2 را در 40 و صورت و مخرج 4/3 را در 30ضرب می نماییم.

می بینید که اعداد گویای 120 /81 و. 120/89 بین دو عدد گویای 3/2 و 4/3 واقع می باشند.

2- بین هر دو عدد گویا، سه عدد گویا پیدا کنید.
48،49

3 – مقدار کسرهای زیر را به ازای n=1,2,3,4 به صورت کسرهای اعشاری درآورید.

4- اگر3:4= x / y باشد مقدار عبارت(x-2y) / (x + 2y) را بیابید.

ترکیب نسبت در صورت و تفصیل نسبت در مخرج انجام شده است.

5 – y با عکس مجذور x‌ متناسب است اگر y=16 آنگاه x=1 است، حال x=8 است. آنگاه y چقدر خواهد بود؟

6- کوچکترین و ساده ترین کسر را بیابید که خارج قسمت آن بر هر یک از کسرهای زیر عدد صحیح باشد.
کوچکترین مضرب مشترک بین صورتهای سه کسر را صورت کسر و بزرگترین مقسوم علیه مشترک بین مخرجها را مخرج کسر می نویسیم.

6/7 = 5/14 =10/21

7 /30عدد مطلوب می باشد.

	6 5 = 30 => 30 10 =30 =>	30= ک.م.م
	7∩14 = 7 => 7 ∩ 21 = 7 =>	7 = ب. م.م

تست های کنکوری: بخش چهار

1- کسر تحویل ناپذیرa /b برابر کسر462/594 است، a+b کدام است؟
1) 14

2)15

3)16

4)17

2 – حاصل می شود؟
1) 24/0

2)

3)

4)3/0

3- حاصل

برابر است با:

4- تفاضل صورت از مخرج کسر متعارفی مولد عدد اعشاری‾ 38/0 به کدامیک از اعداد زیر بخش پذیر است؟
1) 17

2) 5

3) 6

4)11

5- حاصل عبارت کدام است؟
1) 7/4

2) 8/7

3) 7/16

4) 7/8

6- کسر مولد کدام است؟
1)97/136

2)99/136

3)99/137

4)137/97

7- اگر N,Z,Q,R به ترتیب مجموعه اعداد طبیعی،صحیح، گویا و حقیقی باشندف کدام رابطه نادرست است؟
1)R Q

2)N R

3) Z N

4)Q N

  کلید تست ها

  ‌مجموعه اعداد گویا

مجموعه اعداد گویا مجموعه ای است از اعداد که آن را بصورت کلی زیر می توان نوشت:

Q ={ X= a/b | (a,b) Z , b ≠ 0 }

مجموعه اعداد گویا عضو ابتدا و انتها ندارد.
مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل تقسیم بسته نیست، زیرا: صفر عضوی از مجموعه اعداد گویا است ولی (0/ عدد) معنی ندارد.
سعی شود همراه مخرج عدد گویا مثبت باشد.

-a/b = a/-b = -(a/b)

دو عدد گویا مساوی:
هر گاه صورت و مخرج عدد گویایی را در عددی (مخالف صفر) ضرب و یا به عددی (مخالف صفر) تقسیم کنیم عدد گویا تغییر نمی کند و عدد گویایی مساوی عدد گویای اولی بدست می آید یعنی:

اعداد گویای بین دو عدد گویا:
بین دو عدد طبیعی متوالی یا دو عدد صحیح متوالی، عدد طبیعی یا صحیح وجود ندارد. اما درمورد اعداد گویا این مطلب درست نیست. بین هر دو عدد گویای متمایز بی شمار عدد گویا وجود دارد.
مثلاً عدد 4/1 یکی از اعداد گویا بین صفر و یک است و این مطلب را به صورت 1<4/1>0 می نویسند، و یا 3/1 - یکی از اعداد گویا بین 4/1 - و 2/1 - است و بصورت

4/1- > 3/1 - > 3/2 - می نویسند.

میانگین دو عدد گویا:

یعنی میانگین دو عدد گویا متمایز بین آن دو عدد قرار دارد.
هر عدد گویا نظیر a /b که صورت و مخرج آن عامل مشترک نداشته باشند عدد گویای تحویل ناپذیر می نامند.

a  b =1 یا (a , b)=1

نمایش اعشاری اعداد گویا (تحویل ناپذیر)
اعداد گویا سه نوع هستند.

نوع اول:

در مخرج کسر پس از تجزیه به عاملهای اول فقط عاملهای 2و5 وجود دارد. در این صورت اگر صورت کسر را به مخرج آن تقسیم کنیم پس از چند رقم اعشار باقیمانده تقسیم صفر می شود.
در این صورت گفته می شود عدد گویا قابل تبدیل به کسر اعشاری تحقیقی یا مختوم می باشد.

نوع دوم:

در مخرج کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2 و 5 وجود ندارد. در این نوع اعداد گویا چنانچه صورت را به مخرج تقسیم کنیم به باقیمانده صفر نخواهیم رسید وخارج قسمت حقیقی بدست نمی آید، بلکه در خارج قسمت بعد از ممیز رقم یا ارقام مرتب تکرار می شوند.این نماد را نماد اعشاری متناوب ساده می نامند.

نوع سوم:
چنانچه کسر پس از تجزیه کردن به عامل های اول عامل های 2و 5 و سایر عوامل اول وجود داشته باشد در این صورت خارج قسمت بعد از ممیز غیر از ارقام دوره گردش ارقام دیگری قبل از دوره گردش وجود دارد که تکراری نمی شوند و باقیمانده هرگز صفر نخواهد شد. این عدد را عدد اعشاری متناوب مرکب نامند.

تذکر: در حالت (1) اگر a را بر b تقسیم کنیم وعمل تقسیم را ادامه بدهیم باقیمانده صفر خواهد شد و در حالت (2) و (3) اگر a را بر b تقسیم کنیم و عمل تقسیم را ادامه بدهیم باقی مانده هیچوقت صفر نخواهد شد.

در تبدیل عدد اعشاری متناوب به کسر متعارفی:
هر عدد اعشاری متناوب را می توان به صورت یک کسر گویا (کسر متعارفی نوشت) برای اینکار به ترتیب زیر انجام می دهیم.
1) آن عدد را مساوی x قرار می دهیم (a)

3) طرفین رابطه ی (b) را در 10 ضرب می کنیم (p‌ تعداد ارقام گردش است) (c)
4) رابطه b‌را از c کم می کنیم و سپس x را بدست می آوریم و ساده می کنیم.

تبدیل عدد اعشاری تحقیقی به کسر گویا (کسر متعارفی)

باشد (تعداد ارقام بعد از ممیز است)

تبدیل کسر اعشاری متناوب ساده به کسر متعارفی:
برای این کار کسری می نویسیم که صورت آن دوره تناوب و مخرج آن تعدادی 9 به تعداد ارقام دوره تناوب باشد.

تبدیل عدد اعشاری متناوب مرکب به کسر متعارفی:
برای این کار کسری که می نویسیم که صورت آن یک دوره تناوب و غیرتناوب منهای یک دوره غیر تناوب باشد و مخرج آن تعدادی 9 (به تعداد ارقام دوره تناوب و جلوی آن تعدادی صفر به تعداد ارقام دوره غیرتناوب باشد)

مجموعه اعداد حقیقی:
می دانیم هر عدد گویا می شود و به صورت یک عدد اعشاری (تحقیقی – متناوب) نوشته و هر عدد اعشاری یک عدد گویا است.
حال به عدد اعشاری 20200200020000/0 توجه کنید که بعد از ممیز عددهای 2 و صفرها به طریقی تکرار شده اند ولی هیچ شناختی به عدد اعشاری متناوب ندارد. یعنی این یک عدد اعشاری متناوب نیست. پس این یک عدد غیرگویا است. این عدد را یک عدد گنگ یا (اصم) می نامند.

تعریف: هر عدد اعشاری که حقیقی و متناوب نباشد را یک عدد اصم می گویند. مانند:

Π = 3 / 141592633589793

√2 = 1/414213
℮ = 2 / 71.

مجموعه اعداد گنگ (اصم):
همه ی اعداد اصم مجموعه ای را تشکیل می دهند که به آن مجموعه اعداد گنگ می نامند و با Q ^c نشان می دهند.

مجموعه اعداد حقیقی:
همه ی اعداد گویا و اصم مجموعه ای را تشکیل می دهند که به آن مجموعه اعداد حقیقی می گویند و با k نشان می دهند. پس:
 

R = Q Q ^c

  نماد علمی:

به تساوی روبرو توجه کنید:
 

0/3456 = 3/456 * 10^-3

0/00007 =7 * 10^-5

1382 = 1/382 *10³

700000 = 7 * 10⁵

همه اعداد فوق برابر است با حاصل ضرب یک عددبین 1و10 و توان مناسبی از 10، گویند اعداد فوق به صورت نماد علمی نوشته شده است.
برای جلوگیری از اشتباه در عملیات و آسان خواندن اعداد بسیار بزرگ و اعداد بسیار کوچک از نماد علمی استفاده می کنند.
 

یعنی اینگونه اعداد را به صورت

d * 10 n

می نویسند که در آن

1≤ d , d < 10 ,  n z

 می نویسند که 1 این نمایش اعداد را نمایش علمی اعداد یا نماد علمی اعداد می گویند.
 

برای نوشتن یک عدد به صورت نماد علمی از قرارداد زیر استفاده می کنیم:
الف) اولین رقم غیر صفر عدد مذکور را از سمت چپ مشخص می کنیم.
ب) ممیز را در سمت راست همان عدد قرار می دهیم
ج)اگر ممیز از سمت راست به چپ حرکت کند به تعداد ارقام به توان 10 اضافه می شود و اگر ممیز از چپ به راست حرکت کند به تعداد ارقام از توان 10 کم می شود.
 

678910/ = 6/78910 * 10 ⁵

0/000623 = 6/23 * 10^-4

1 – حاصل هر عبارت را به صورت عدد توان دار بنویسید.

(-الف) (3-)×(3-) ×(3
(-ب) (2/0-) ×(2/0-) ×(2/0-) ×(2/0
ج) 1/0×1/0×1/0×1/0×1/0
(-1/2) (-1/2) (-1/2) (-1/2)(د

2- هر کدام از احکام زیر را که درست است با نماد P و هر کدام که نادرست است با نماد × مشخص کنید.

3 – اعداد زیر را به صورت توان منفی بنویسید.
الف) 0000001/0

ب)000000002/0
ج)000125/0

د)00007/0

6 – ب.م.م و ک.م.م هر یک از زوجهای زیر را از راه تجزیه بدست آورید.
(72,48)(456,288)

تمرین تکمیلی: (با پاسخ) بخش سوم
1 – حاصل عبارات زیر را بدست آورید:

-3 ^-2 =>-3^-2 =-(3)^-2 = -(1/3)² = -1/9

-3 / 4^-1 =>-3 / 4^-1 = -3/(1/4)=-12

7^-2 => 7^-2=(1/7)² = 1/49

-7(-3)⁰ => -7(-3)⁰=-7(1)=-7

2- مقدار x را حساب کنید.

16 ^x=32 =>16 ^x=32 =>(2 ⁴) ^x = 2⁵ => 2^4x =>4x=5 => x=5/4

3 – حاصل عبارات زیر را بدست آورید:

  تست های کنکوری:

1) 7

2) -7

3) 4

4)4-

2 – کوچکترین مخرج مشترک برای دو کسر با مخرج های 126،168 چه عددی است؟
1) 336

2) 378

3)504

4)672

3 – حاصل (5/1) ٪ (4/45) کدام است؟
1) 5

2) 10

3) 5/12

4) 25

4- کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 60 و 72 چند واحد از بزرگترین مقسوم علیه آن بیشتر است؟
1) 38

2) 348

3)358

4)328

300 باشد، K چند است؟

1) 3

2) 2

3)4

4)5

6- کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 24و36 چند واحد از بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن بیشتر است؟
1) 48

2)54

3)60

4)72

7- ربع عدد^3- (2) کدام است؟
1) 8/1

2) 16/1

3) 32/1

4) 64/1

8- نسبت بزرگترین مقسوم علیه مشترک به کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 45 و 60 کدام است؟
1) 15/1

2) 12/1

3) 18/1

4) 32/1

9- حاصل

کدام است؟

1) 7

2)5/3

3)75/1

4)1

10- بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 330و120و270 کدام است؟
1) 6

2) 12

3) 20

4) 30

فصل اول - بخش سوم: توان

هر گاه بخواهیم عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم به جای این عمل آن را به صورت توان می نویسیم (عدد را نوشته و تعداد دفعات ضرب را بالای عدد کمی سمت راست قرار می دهیم.

5*5*5*5*5*5 = 5⁶

5 را پایه و 6 را نما می نامند. «5 به توان 6» و5⁶ را عدد توان دار می گوییم.
اگرR a باشد حاصل ضرب را به صورتa ⁿ می نویسند و می خوانند a به توان n یا «توان nام a» وa ⁿ را یک عدد توان دار و a را پایه و n را نما می گویند.
هر گاه پایه عدد 10 باشد و بخواهیم به توان برسانیم حاصل آن بصورت زیر است:

عامل های اول:
اگر در تقسیم عدد طبیعی a بر عدد طبیعی b باقی مانده صفر شود، در این صورت b را یک مقسوم علیه یا یک عامل a می گویند.
• اگر a,b,c اعداد طبیعی باشند و a=bc در این صورت می گویند عدد a بر اعداد b,c بخش پذیر است و b,c مقسوم علیه های a یا عامل های a هستند.
• عدد اول: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را که غیر از خودش و 1 مقسوم علیه دیگری نداشته باشد به آن عدد اول می گویند. به عبارت دیگر هر عدد طبیعی که فقط و فقط دو مقسوم علیه متمایز داشته باشد، به آن عدد اول می گویند.
• عدد 1 نه اول است و نه تجزیه پذیر (نه مرکب)
• عامل های اول یک عدد، یعنی مقسوم علیه های آن عدد که هر یک عدد اولند.
• وقتی یک عدد طبیعی را به صورت حاصل ضرب عامل های اول می نویسند می گویند آن عدد به عامل های اول تجزیه شده است.
• عامل های اول یک عدد:
• هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که عدد اول نباشد بصورت حاصل ضرب چند عدد اول تجزیه می شود، این چند عدد اول عاملهای اول آن عدد می باشند.

نکته اصلی حساب:
هر عدد تجزیه پذیر را با راه حل های مختلف و صرف نظر از ترتیب عامل ها، تنها به یک شکل به صورت حاصل ضرب عامل های اول تجزیه می شود.

مجذور کامل:
عدد طبیعی n را مجذور کامل می گویند. هر گاه پس از تجزیه N به عامل های اول نمای هر یک از عامل ها زوج باشد.

مقسوم علیه مشترک:
هر گاه عدد طبیعی a,b بر d بخش پذیر باشند عدد d را مقسوم علیه مشترک a,b می نامند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد:
دو عدد طبیعی a,b را در نظر بگیریم. مقسوم علیه مشترکی که از این دو عدد، از همه مقسوم علیه های مشترک بزرگتر باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a,b می نامند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد با نماد ب م م و یا بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a,b را با (a,b) نمایش می دهند.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد:
کوچکترین مضرب مشترک عددهای طبیعی a,b را با نماد {a,b} یا ک م م نمایش می دهند. مضرب مشترکی را که از همه مضرب های مشترک a,b کوچکتر باشد کوچکترین مضرب مشترک دو عد می گویند.

تعیین ب. م. م و ک.م.م اعداد با استفاده از تجزیه عوامل اول:
هر گاه دو عدد را حاصلضرب عوامل اول تجزیه نماییم.
برای محاسبه ب.م.م. از هر دو عامل مشترک آن را که نمای کوچکتر دارد اختیار کرده و در هم ضرب می نمائیم.
برای محاسبه ک.م.م از هر دو عامل اول مشترک آن را که نمای بزرگتر دارد اختیار کرده و عوامل غیرمشترک را هم عیناً می نویسیم و در هم ضرب می نمائیم.

  فصل اول - بخش دوم: مجموعه های هم ارز(تمرینات و تست های کنکوری)

تمرینات
1 – مجموعه اعداد طبیعی فرد و زوج را در دو سطر بنویسید و نشان دهید که این دو مجموعه هم ارزند.

2 - هر کدام از احکام زیر را که درست است با نماد √ و هر کدام را که نادرست است با × مشخص کنید.
الف) مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع بسته است.
ب) مجموعه {1و0و-1} نسبت به عمل ضرب بسته است.
ج) مجموعه اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق بسته است.
د) مجموعه z نسبت به عمل ضرب بسته است.

3 – هر کدام از احکام زیر که درست است با نماد √ و هر کدام نادرست است با نماد × مشخص کنید.
الف- مجموعه های N و E هم ارزند.
ب) مجموعه های N و W هم ارزند.

4 - هر کدام از احکام زیر را که درست است با نماد √ و هر کدام که نادرست است با × مشخص کنید:

الف)E = N O

ب) = O ∩ E

E ∩ N = N ( ج

د) E = N N

  تست های کنکوری: بخش دوم

1 – کدام گزینه در مورد مجموعه اعداد طبیعی فرد و زوج نادرست است؟
1) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل جمع بسته است
2) مجموعه اعداد فرد نسبت به عمل ضرب بسته است
3) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل جمع بسته است
4) مجموعه اعداد زوج نسبت به عمل ضرب بسته است

2 – مجموعه اعداد طبیعی N، اعداد حسابی w و اعداد صحیح z بوده است. نتیجه نادرست کدام است؟
1)W (N W)

2)W (N ∩ W)

3)W (W Z)

4) W (N ∩ Z)

3 – اگر A و B دو زیر مجموعه از اعداد طبیعی، A متناهی (با پایان) و B نامتناهی (بی پایان) می باشد، کدام مجموعه الزاماً نامتناهی (بی پایان) است؟
1)' B ' A

2) ' A ∩ B
3) ' B A

4)' A' ∩ B

4 – اگر A مجموعه ارقام زوج طبیعی بین 1 تا 10 و مجموعه اعداد اول بین 1 تا 10 می باشد. مجموعه چند زیر مجموعه از مجموعه بیشتر دارد؟
1) 96

2) 126

3)48

4)98

5 – کدام مجموعه زیر تهی است؟
1) مجموعه اعداد طبیعی فرد بین 8 و10
2) مجموعه اعداد طبیعی زوج بین 9 و 11
3) مجموعه اعداد طبیعی مضرب 3 بین 13 و 15
4) مجموعه اعداد طبیعی مضرب 3 بین 14 و 16

{-6 , -7}(1
{1,2,3,4,7}(2
{4,7,8}(3
{1,6,7,8}(4

7- اگر مجموعه مرجع مجموعه ی اعداد طبیعی ,

B={2,4,7}, A={n|n≥5}

آنگاه B ' A

برابر کدام است؟

1){1,2,3,4,5,7}

3){1,2,3,4}
2){1,2,3,4,7}

4){1,2,3,4}

  فصل اول - بخش اول: مجموعه های هم ارز

مجموعه اعداد – بخش دوم
مجموعه های هم ارز:
دو مجموعه A,B را هم ارز می گویند که عضوهایشان در تناظر یک به یک قرار داشته باشند. اگر مجموعه A با مجموعه B‌هم ارز باشند می نویسندB A و می خوانند« A هم ارز B است.»

اگر A,B هم ارز نباشند به صورت نشان داده می شود و می خوانند A هم ارز B نیست.

مفهوم عدد:
نمادی که برای نشان دادن تعداد اعضای یک مجموعه بکار می رود عدد نامیده می شود. اعداد طبیعی عضوهای مجموعه N می باشند.

N={1,2,3,4,5,….N,…}

بعضی از زیر مجموعه های N:
1- مجموعه اعداد طبیعی زوج:

و هر عدد طبیعی زوج را به صورت 2n نشان می دهند که در آن N n است.

E={2,4,6,8,.}={2n | n N}

2- مجموعه اعداد طبیعی فرد:
هر عدد طبیعی فرد را به صورت 2n-1 نشان می دهند که در آن N n است.

O={1,3,5,7,.}={2n-1 | n N}

3- مجموعه اعداد حسابی:

E={0,1,2,3,.}={n-1 | n N}

4- مجموعه مضرب های طبیعی یک عدد

aمجموعه مضرب های طبیعی عدد={a , 2a , 3a , 4a ,.}={ka | k N}

مجموعه قرینه های اعداد طبیعی:
مجموعه ای

{-1 , -2 , -3 , -4 ,.}={ -n | n N}

را مجموعه قرینه ی اعداد طبیعی یا مجموعه اعداد صحیح منفی می گویند.

مجموعه اعداد صحیح:
عددهای 0و1± و2± و3±و. را اعداد صحیح می نامند و به صورت زیر نشان می دهند.

Z={….,-2,-1,0,1,2,….}

مجموعه اعداد زوج در z:

={….,-4,-2,0,4,….}={2K|K Z}

مجموعه عددهای صحیح و زوج

مجموعه اعداد فرد در Z:

={….,-5,-3,-1,1,3,5,.}={2K-1|K Z}

مجموعه عددهای صحیح فرد

بسته بودن یک مجموعه نسبت به یک عمل:
مجموعه a نسبت به یک عمل (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم.) وابسته است اگر روی هر دو عضو دلخواه از مجموعه عمل را انجام دهیم حاصل هم در مجموعه وجود داشته باشد.
مجموعه اعداد طبیعی زوج نسبت به عمل جمع بسته است. زیرا مجموع هر عدد طبیعی زودج یک عدد زوج است.
مجموعه اعداد طبیعی فرد نسبت به عمل ضرب بسته است زیرا حاصل ضرب هر دو عدد طبیعی فرد یک عدد فرد است.
مجموعه اعداد طبیعی فرد نسبت به عمل جمع بسته نیست، زیرا مجموع هر دو عدد طبیعی فرد یک عدد زوج است نه یک عدد فرد.

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
تست های کنکوری:بخش اول

1 – مجموعه های A ∩ B دارای 5 عضو، A ∩ B دارای 2 عضو و A-B نیز دارای 2 عضو بوده، مجموعه ی B-A چند عضو دارد؟
1) 4

2)3

3)2

4)1

2- اگر A مجموعه اعداد دو رقمی {B={vk,kєA آنگاه مجموعه توانی (A ∩ B) چند عضو دارد؟
1)6

2)8

3)16

4)32

3- از مجموعه A یک عضو برداشته و به مجموعه B اضافه نموده ایم. تعداد اعضای مجموعه B تغییر نکرده است. کدام رابطه بین A,B نتیجه می شود؟
1) B A

2) A B

3) ≠ A ∩ B

4) B = B A

4 – قسمت هاشورزده شکل روبرو، تصویر ون کدام مجموعه است؟

A ∩ (B C)(1
(A ∩ B) C (2
(B ∩ C) A(3
(B A) ∩ C (4

5 – اگر A₂ مجموعه زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه{ A={a,b,c,d,e و B₂ زیر مجموعه های دو عضوی{ B={a,b,c,e,f باشند، مجموعهA₂ ∩ B₂ چند عضو دارد؟
1) 6

2) 7

3) 8

4) 9

6- اگر{ A₁={1,2,3,…,10 باشد و{ A₂={2,3,…,11 و{ A₃={3,4,.,12 و. آن گاه مجموعه A₁∩ A₂ ∩ A₃ ∩. ∩ A_A چند عضو دارد؟
1)3

2)4

3)5

4)6

7- اگر دو عضو از اعضای مجموعه A را حذف کنیم. تعداد زیر مجموعه های آن384 واحد کم می شود. A چند عضو دارد؟
1)9

2)10

3)11

4)12

8- کدامیک از مجموعه های زیر یک مجموعه تهی است؟
1) {0}

2) مجموعه ی اعداد اول کوچکتر از 3

3) {}

4) مجموعه ی اعداد اول بین 24 و 28

9 – دو مجموعه A,B برابرند و هرگاه:
1) تمام عضوهای A وB وجود داشته باشد.
2) هر عضو دلخواه از A و B وجود داشته باشد.
3) هر یک زیر مجموعه ی دیگری باشد.
4) تعداد عضوهای A و B برابر X باشند.

10- اگر { x | x > 1} = A , B = {x |x < -1} آنگاه ' A' ∩ Bکدام مجموعه است؟

1){x | -1 < x <1}

2){x | -1 < x ≤ 1}

3){x | -1 ≤ x <1}

4){x | -1 ≤ x ≤1}

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها
(تمرین های تکمیلی (با پاسخ) بخش اول):

1- آیا مجموعه N₁₀ نسبت به عمل جمع بسته است؟
مجموعه ای نسبت به عمل جمع بسته است و اگر برای هر عضو دلخواه آن از مجموعه عمل جمع انجام شود حاصل جمع عضوی از جامعه باشد.

N₁₀={1,2,3,….,10} A Є N₁₀ , 9 Є N_{10 =>} "(8+9=17) Є N ₁₀

مجموعه N₁₀ نسبت به عمل جمع بسته نیست.

2-اگر{ B={2,4,6,8,10} , A={1,2,3,4 مطلوبست محاسبه
الف) A - B

ب) ( A - (A ∩B
ج) مقادیر بدست آمده برای (الف) و(ب) را مقایسه نمایید.

الف)

A - B = { x | x є A , x B }

A - B = {1 , 2 , 3 , 4 }- {2 , 4 , 6 , 8 , 10} = {1 , 3}

ب)برای محاسبه (A - (A ∩Bابتدا مقدار (A ∩B) را محاسبه کرده و سپس (A - (A ∩B را بدست می آوریم.

A ∩ B = {1 , 2 , 3 , 4}∩ { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } = {2 , 4}

A - (A ∩B) = {1 , 2 , 3 , 4 } - {2 , 4}={1 , 3}

ج) از مقادیر بدست آمده در (الف) و (ب) نتیجه می شود.

A - B = A - (A ∩ B) , P = {2,4,6,8,10} , U = {1,2,3,000,10}

3– اگر U مجموعه مرجع { U={2,4,6,8,10,12 مطلوب است مجموعه S بطوری که:

S= { x | x є U , x - 1 ≥ 5 }

x - 1 ≥ 5 , x є U => x = 6 , 8 , 10 , 12

S = {6 , 8 , 10 , 12}

4- اگر E مجموعه مرجع

E = { x | x є N , x ≤ 10}

A = { x | x є N , x ≤ 5 }

B = { x | x є N , 4 ≤ x ≤ 7 }
C = { x | x є N , 7 ≤ x ≤ 10 }

مطلوبست است:
اولاً: مجموعه های C,B,A,E را توسط اعضای آنها مشخص کنید:
ثانیاً: مجموعه را بنویسید.

اولاً

E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7},C={7,8,9,10}

ثانیاً

B C = {4,5,6,7} {7,8,9,10}={4,5,6,7,8,9,10}
(B C)' ={1,2,3} A={1,2,3} {1,2,3,4,5}={1,2,3}

5- اگر A,B,C سه مجموعه غیرتهی و C B A باشد و مقدار عبارت را بدست آورید.
از رابطه B ' A نتیجه می شود

A = B B

, 'B )' = B A) و از رابطه BCC نتیجه می شود پس:

(A B)' ∩ (B ∩ C) ' = B' ∩ B' = B' ∩ B' = B '

6 – اگر E مجموعه مرجع{ B={C,D} , A={a,b,c}, E={a,b,c,d مطلوب است.
الف) مقادیر A-B‌و' A ∩ B

ب) تحقیق کنید ' A - B = A ∩ B

الف)

A - B = { x | x є A , 8x B }={a , b}

B' = {a , b}, A ∩ B' = {a,b,c}∩{a,b}= {a,b}

ب)

A - B = A ∩ B'

7- A,B,C زیر مجموعه هایی از m هستند، قسمت هاشور زده در نمودارهای زیر را با نمادهای و ∩ نامگذاری کنید.

ب)

الف)

قسمت هاشور خورده در قسمت الف) عبارت است از:

(A ∩ C) (B ∩ C) = (A B) ∩ C

و در نمودار ب) عبارت است از:

(A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C)

8- نشان دهید از رابطه A ∩ B = A ∩ C رابطه B= C نتیجه گرفته می شود:
با یک مثال عددی مسئله را مورد مقایسه قرار می دهیم:

A={a,b,c},B={b,c,d},C={b,d,e}
1) A ∩ B={a,b,c} {b,c,d}={b}
2) A ∩ C={a,b,c} {b,d,e}={b}

  فصل اول - بخش اول: مجموعه ها - تمرینات

1- اگر آیا عضوی در C وجود دارد که در D نباشد؟

2- مجموعه{ M={1,2,3,….20 را به عنوان مجموعه مرجع در نظر بگیرید. آنگاه زیر مجموعه هایی از همه عضوهای M را به ترتیب زیر مشخص کنید.
الف) زیر مجموعه ای که اعضای آن اعداد فرد باشد.
ب) زیر مجموعه ای که اعضای آن بر 3 بخش پذیر باشد.
ج) زیر مجموعه ای که اعضای آن از 10 بزرگتر باشد.
د) زیر مجموعه ای که اعضای آن از 7 کوچکتر باشد.

3- کدامیک از مجموعه های زیر با پایان کدامیک و بی پایان است.
مجموعه اعدد طبیعی فرد، مجموعه اعداد صحیح زوج، مجموعه اعداد اول و زوج

4– اجتماع هر دسته از مجموعه های زیر را تعیین کنید.

الف)A={2 , 3 ,7}

B = {1 , 2 , 6}

ب) A={a , b , c }

B ={c , d , e}

5– آیا همیشه ؟ چرا؟

6- در شکل رو به رو A ∩B , B ∩A را سایه بزنید.
A∩B∩C برابر چه مجموعه ای است؟

7- اگر A زیر مجموعه B نباشد و B همه زیر مجموعه ی A نباشد هر کدام از احکام زیر که درست است با نماد √ و هر کدام نادرست است با نماد × مشخص کنید.
الف)

ب)
ج)

د)
ه‍)

8 - اگر داشته باشیم { C={a,e},B={b,d,d},A={a,b,c,d درستی تساویهای زیر را تحقیق کنید.

9- در تمرین 8 مجموعه های B-C , A-C , A-B را بنویسید.